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かねごんの放浪記
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 今までいろいろな学校や塾・予備校で、数学を教える仕事をしてきました。紆余曲折を経て職場も転々、そして日本全国を旅する自分。結局自分の人生言ってみればすべて「放浪」。自分が善人か悪人かも分からないし、いろいろ迷いながら過ごしている日々。2016年に脳梗塞を発症、利き手が使えない重度障害者となり今に至ります。このブログも開設13周年!14年目も懲りずにくだらないこと書き続けます…。
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2019 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

2019/01/23 04:28
 引き続き数学U・Bの方も見ていきたいと思います。まあ昨年よりは早く記事書けたと思います。さて恒例ですが、河合塾のHPでは解説授業を期間限定で公開しています。今年もリンク張っておくので、見たい人はご覧ください。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/19/lecture.html
 なお、東進や城南予備校のHPでも解説があったので、リンク張っておきます。
・東進→https://www.toshin.com/center/
・城南→https://www.johnan.jp/sokuhou/(←ワンポイント解説の所)

数学U・B
 第1問[1]は三角関数でした。(3)が意外な形で整数が絡みますが、問題は典型的な部類だと思います。(1)は三角関数の値を計算する問題。ただ、値を代入して計算してください。(2)、2倍角の公式で変形する問題。まあ普通半角の公式と呼ばれるやつです。sinの方も半角公式使えば変形できます。(3)、三角関数の合成をしなさいと言っています。角が2θで統一されているので合成してください。ここまで基礎が分かっているかどうかを確認する問題です。誘導なくてもできたい問題です。次、最大の整数値mを求める問題ですが、sinの値は1〜-1なので、合成した結果最大値は2√2+1となります。√2は1.4くらいなので3.8くらい。つまり最大の整数値は3となります。そのf(θ)=3を解く問題です。sin(2θ+π/4)=1/√2となるので、2θ+π/4=π/4と3π/4です。θ=π/4,π/2となります。定義域の確認も今回は不要です。三角関数に苦手意識がない限り取りたい問題です。

 [2]は指数・対数方程式の問題です。見た目に圧倒されますが、誘導に乗ればそんなに難しくはありません。まず真数条件より、x>-2,y>-3です。底の変換公式より、log(2)4が分母に来ます。log(2)4は底が2、真数が4です。以下同様。Aから式変形、これがそこそこ大変です。logの引き算より、log(2)x+2/y+3=-1。logの定義より、x+2/y+3=1/2となり、この分母を払うとy=2x+1となります。右頁、tで表すのも指数計算が必要になります。2x+1乗は、掛け算と累乗になおしていくと、tの2次方程式になります。2次方程式解く前に定義域の確認せよと言っています。t=(1/3)^xは減少関数なのでx>-2より、t<9。指数関数なのでt>0です。これより、tの2次方程式解くとt=2となります。最後x,yの値ですが、t=(1/3)^xより、2=3の-x乗です。logの定義より-x=log(3)2だから、x=log(3)1/2となります。y=2x+1なのですが、これも意外と大変です。まず2倍は、真数の2乗になおし、+1はlog(3)3に直して掛け算すると、空欄に当てはまる形になります。真数条件を指数方程式の条件に使うところなど巧みな出題だと思いました。

 第2問は微分・積分の問題でした。後半がやや難しいです。(1)、3次関数が極値をとる条件は微分係数が0になることです。f'(-1)=0,f(-1)=2の連立方程式を解くと、p,qの値が分かります。その3次関数の導関数より、もう一つの極値も分かります。(2)、別の2次関数Dが出てきます。接線ℓの方程式は2次関数を微分して傾きを求め、式を整理してください。ℓとx軸の交点のx座標はy=0より、x=a/2と分かります。Dとx軸とx=aで囲まれた面積はただの積分ですが、x軸より下側なのに気を付けてください。Dとx軸とℓで囲まれた面積Sは積分せず、今求めた面積からℓとx軸とx=aで囲まれた三角形の面積を引いてください。(3)、(2)の点Aが(1)のC上にありℓが共通接線になる問題です。かなり図は複雑ですが、誘導に乗りましょう。点AがC上にあるので、f(a)=a^3-3a=-ka^2です。kについて解いてください。ℓとCの接点のx座標をbとし、ℓをbを用いてとあります。一回aは置いといてbで立式してください。3次関数よりf' (b)=3b^2-3を利用し3次関数の接線の方程式を公式などより作ってください。このAの右辺をg(x)とし、f(x)-g(x)を計算・因数分解しなさいと言っています。3次関数f(x)からAを引くと3次方程式ができます。これは接点がbなので、(x-b)で2回割り切れるはずです。割ってみると(x+2b)という因数が答えに当てはまります。この因数は点Aを表すので、a+2b=0、つまりa=-2bとなり、傾きを比較すると-2a(3/a-a)=3b^2-3となるので、a=-2bを代入してください。ここで初めてaとbをつなげます。するとa^2=12/5となり、Sに代入するとSが求まります。自分もそうだったんですが、途中でaとbをつなげるとドツボにはまり混乱します。空欄の形を見ながら誘導に乗ってやっていきましょう。近年は共通接線の問題が多いですね。なお、積分については簡単なことが多いようです。まあ積分計算はミスすればすべて終わりで、10年以上前のような積分計算中心の出題はもう出にくいかもしれません。

  以下、第3問から第5問は数学Bの選択問題です。各自2問選択してください。

 第3問は数列でした。等比・階差数列・漸化式というオーソドックスな内容ですが複雑です。(1)、等比数列の和であることに気を付けましょう。3+12=15で、階差数列より-1+3=2です。言葉・問題の意味を理解したかを見る問題でした。(2)、Snの一般項は、等比数列の和の公式で出ます。TnはこのSnを使い、階差数列の公式を利用しΣ計算して空欄の形に合うよう変形してください。(3)、anとbnが出てきて一気に複雑になります。初項b1はa1+2T1を利用すれば-5となります。次から山場です。まずTnの漸化式を作る問題ですが、(2)の答えより、Tn+1を作ればTnの4倍が絡んでいることが予想されます。4Tnを作って引けば空欄に当てはまる形ができました。次にbnの漸化式を作る問題ですが、これがかなり複雑です。まずbn+1を作り、そこにanの漸化式とさっき作ったTnの漸化式を代入し、かんばってbnができるまで変形してください。これはかなりの分数計算になります。そうすればいわゆる特性方程式型の漸化式なので、これを解きます。{bn+2}は初項-3、公比4の等比数列なので一般項が分かり、anの一般項は、nbn-2Tnに代入し通分したりして変形すると最後の空欄が分かります。少し誘導が強引で、Tnやbnの漸化式を作るのが大変です。まあそれでも誘導がないとたぶん解けないので仕方なくやるしかありません。

 第4問は久々の空間ベクトルでした。問題数は多いですが、割と典型的な問題ではないでしょうか。(1)、∠AOCは内積0より90°。△AOCは直角三角形の底辺と高さが1と√5より求められます。(2)、BAとBCの内積はBA=a-bと小文字に直して計算します。BAやBCの大きさも同様にして2乗して計算。この3つが分かると、内積の定義よりcosが分かり角度が120°と分かります。AD//BCより図を描くと、これは等脚台形となり、∠BACや∠ADCが60°となります。これは正三角形3つに分割できるので、AD=2BCとなります。ODはAD-AOなので、今求めたベクトルを代入すると計算でき、面積はAB=√2だから正三角形3つ分で分かると思います。(3)、BH⊥aより内積0です。BH⊥cも同様で、BH=OH-OB=sa+tc-bとすると、内積計算よりsとtの方程式ができます。これよりsとtの値が分かります。BHの2乗はさっきのを頑張って展開計算すると、BHの大きさも分かります。それが分かると体積も底面積・高さが求まっているのですぐ分かるはずです。(4)、OABCDの体積ですが、底面ABCDと考えると△ABC+△DACで、高さは共通です。△ABCの三角形1つ分に2つ分加わるので、3Vとなります。最後高さは(3)の答えと、(2)で求めた底面積ABCDを使うと高さが求まります。問題量が多いので、図形でつまずくか計算でつまずくかで止まってしまうと時間12分では終わらない可能性があります。でも全体的には昔からセンター試験でよく出題された傾向の問題だと思います。

 新課程では数学Bからベクトルがなくなり、統計が必修化されます。今年は簡単と噂なので、今後のために第5問の解説を試しに書いてみます。あまり知識ない上で書いてみるので、何か間違いがあったらご指摘いただけると幸いです。第5問統計分布です。今年はあまり確率実験的な問はありません。(1)、V(x)=E(x^2 )-{E(x)}^2の公式より、E(x^2 )=49+25=74です。W=1000Xとしたとき、期待値は1000倍の-7000、分散は1000^2倍で25000000になります。あとは空欄に当てはまるように有効数字表示してください。(2)、X≧0なら、X+7/5≧7/5、つまり1.4以上です。これが標準正規分布に従うと書いてくれています。0〜1.4の確率が正規分布表より0.4192なので、右半分の確率0.5から0.4192を引いた0.08が、Zが1.4以上になる確率です。期待値は、E=npの公式より50×0.08=4.0、標準偏差は、σ=√np(1-p)の公式より、√4×0.92=√0.368で0.37です。(3)、σ(Yバー)は、σ/√100=0.6です。Z=(Yバー-m)/0.6は標準正規分布に従うとまた書いてくれています。|Z|≦1.64となる確率は正規分布表より、0.4495×2=0.899、つまり0.90です。最後mの範囲ですが、|Z|≦1.64より-1.64≦Z≦1.64で、Yバー=-10.2だから、あとはこの1次不等式を丁寧に解いてください。0.6倍し10.2を足し、不等式を-1倍すれば答えがAと分かるはずです。昨年は確率の計算もあったので難しかったんですが、今年は統計の基本公式と正規分布表の使い方を知っているだけで解けてしまう問題でした。2年前みたいに確率密度関数が出題されることもあるので、積分計算絡むこともありその場合要注意の分野です。

 ということで、今年は第5問選んでいれば楽に解けた年でしたが、たぶん現在の受験生は選ぶ人は少ないでしょう。いずれにしても第2問や第3問がやや難題だと思うので、それ以外で点数とれたかも重要な年だったと思います。今後の受験生は参考に頑張ってください。

数学U専用問題

 第1問、第2問は数学U・Bと共通です。

 第3問は図形と方程式でした。問題は典型的で、特にひねりもなく易しい問題です。(1)、2点A,Bを通る直線の方程式は公式でも連立方程式でも構いません。中2レベルです。(2)、内分点・外分点を求める問題も公式一発ですし、図がイメージできる人はたぶん直観でも解けると思います。(3)、点Pの軌跡を求める問題ですが、いわゆるアポロニウスの円です。ただ、その知識があっても不要です。誘導がなされていて、式変形の途中まで問われているので、ただ2点間の距離の公式より地道にやっていきます。2:1より、2乗すると4倍になります。3で割ると求める途中式になり、平方完成すると(x-4)^2+(y-3)^2=20となり、中心が(4,3),半径が2√5になります。(4)、(3)の円とy軸との交点は、x=0に代入してy^2-6y+5=0を解くとy=1,5となります。点(0,1)における円の接線の方程式は、公式でもいいですし、接点と中心を結ぶ線の傾き1/2に垂直を利用して求まります。点(0,5)における接線も同様に解けます。最後、y軸とl1,l2で囲まれた面積は、点(0.1)と点(0.5)の間の底辺の長さが4、2つの交点のx座標は-1なので高さ1の三角形なので面積は2です。図形と方程式ではいきなり軌跡を聞かれた年もあったので、絶対に軌跡はできるようにしておきましょう。領域もできるように。

 第4問は高次方程式でした。(3)だけ難しいと感じるかもしれませんが、それ以外は見た目以上に簡単です。まず因数定理よりx+1とx-3を因数に持ちます。(1)、異なる2つの虚数解をもつとき、解と係数よりと書いてあります。公式より、α+β=-a,αβ=bとなります。Q(x)の判別式というので、これも公式よりD=a^2-4b<0です。教科書レベルです。(2)、虚数解をもたない場合と書いてあります。要するに重解ということです。x=-1で3重解のとき、x^2+2x+1で@、x=3で3重解のとき、x^2-6x+9でA、x=-1で2重解かつx=3で2重解のとき、x^2-2x+3でDです。たくさん解答欄ある割には簡単です。(3)、P(x)がすべての実数xで0以上となる場合ですが、x^2-2x+3は-1<x<3で負になります。それを都合よく消してくれるのは、同じものをかけた場合のみです。つまりP(x)は(x^2-2x+3)の2乗しかありません。よってこれを展開すれば答えとなります。割り算が絡むと難しいこと多いのですが、今年は実に素直な問題でした。

 今年は数学U専用問題は簡単なので、こちらを選んだ人は得したかもしれません。まあそもそも数学Uだけでよいという大学は少ないんですけどね。例年よりも平均点は高いようです。来年以降の受験生もこれを参考にしつつ頑張ってほしいと思います。
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2019 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

2019/01/21 03:29
 明けましておめでとうございます。センター試験は来年までになりそうですが、19日・20日に無事行われたようです。今年は数学T・AもU・Bも必答問題はそんなに難しくはないようで、平均点も60点前後になる予想です。とりあえず今年も感想を書いていきたいと思います。

数学T・A
 今年も第1問は3問構成でした。[1]は数と式で、絶対値の方程式問題でした。受験生の定番問題でしょう。まず因数分解し、√の中の2乗は絶対値になるという法則より、2つの絶対値になります。2つの絶対値の場合分けですが、今年は自分でする必要がありません。3通り書いてくれています。それぞれ3通りの場合でAを計算します。A=2a+13となるaを聞いているので、3通り方程式を解き前提条件を満たしている2つのaを求めてください。やや面倒ではありますが、教科書レベルの問題といってもいいでしょう。

 [2]は命題でした。(1)はpの否定を答えさせる問題。「ともに奇数」の否定は「どちらかが偶数」(ド・モルガンの法則)なので、mが奇数ならnは偶数。mが偶数ならばnは何でもいいとなります。あまりこういうのを聞く問題は今までにはなかったかもしれませんが、mが奇数から聞いているので戸惑うことは少ないでしょう。(2)は必要十分条件の問題。こちらは定番です。qの3mnが奇数とは、mとnともに奇数のことなので、pと同じなので必要十分条件。rのm+5nが偶数とは(m,n)=(偶数,偶数)か(奇数,奇数)なのでpならばrは成り立つという関係ですが、rが成り立ってもpは必ずしも成り立ちません。十分条件。pの否定は先の通り3通りなので、rは成り立ちませんし、rが成り立ってもpの否定にはなりません。どちらでもないが正解です。

 [3]は2次関数でした。3文字入ってくるので平方完成がやや複雑ですが、内容自体は簡単です。(1)平方完成して、空欄に当てはまる形に変形してください。(2)、(-1,6)を通るときなのでx=-1,y=6を代入します。するとbがaの2次関数になります。平方完成といってもたぶんそのまま因数分解できるとわかると思いますが、変形して最大値を求めてください。a=1,b=5のときy=x^2をどれだけ平行移動したですが、頂点を求めればそのまま答えです。

 第2問[1]は三角比でした。割と簡単な問題ですが、正しく図をかけるかが重要です。はじめはcosAを聞いているので余弦定理です。cosAの値が負なので、Aは鈍角です。sinAは三角比の相互関係より求めてください。(2)、珍しく垂直二等分線の問題です。Aは鈍角より、正しく図を書いてください。点DはACに対して点Bと逆の位置にできます。cos∠CADは、先程の∠BACの外角になるので、180°-θの公式よりマイナスが取れます。これが1/4ということは、ACの中点をMとすると、AM:AD=1:4となり、ちょうどAM=1なので、AD=4です。最後、△DBCの面積ですが、△ABC+△DACとすればsinAも求まっているので面積公式より分かります。

 [2]はデータの分析でした。暦を通し日で計算したデータだそうです。(1)はヒストグラム(棒グラフ)の正しいのを選ぶ問題。箱ひげ図より2013年のみ70台前半や130台後半があるのでB、2017年は120台前半が最大値のCとなります。この内容は新課程では中学に移行されるので、新課程でこのレベルが出題されることはないでしょう。(2)、正しくないのはC、モンシロチョウの四分位範囲は20日位あるので間違い。あとF、同一地点での初見日の差が15以下だとすると破線内に点がすべて収まっていないといけないが、最低2つははみ出ている。よって間違いです。(3)、Xのデータを平均引いて標準偏差で割る問題です。平均を引けばそのデータの平均は0です。平均が0ならX'の平均も0です。標準偏差は元のデータと、ただ平均引いただけのデータでは変わらないので、標準偏差で割れば標準偏差は1になります。最後、変換したデータの散布図ですが、@とBは論外。図4が180°回転するわけありません。(Mの方が図3より標準偏差が大きいはずなので図4を少し横に圧縮したものと想像できますが、この知識は不要です)。さて標準偏差1に着目してください。M'もT'も偏差が平均して1あるという意味です。⓪のように全部1〜-1だと標準偏差は0.5くらいになってしまいます。当然2〜-2くらいないと標準偏差が1にはなりません。なのでAが答えです。たぶん1〜-1の相関係数と混乱させようとした問題なのでしょう。しっかり意味が分かって計算練習していれば解けた問題だと思います。

 以下、第3問から第5問は数学Aの選択問題です。各自2問選択してください。

 第3問は確率の問題で、理系受験生なら数Bや数Vなどでもたぶんなじみがある確率漸化式のような問題です。こういった出題はセンター試験では珍しいかもしれません。ただ、もちろん高1でも解ける問題にはなっています。(1)、赤い袋から赤玉を取り出す確率は、2/3×2/3=4/9。白い袋から赤玉を取り出す確率は、1/3×1/2=1/6です。(2)は結局1回目で白玉を取り出す確率なので、(1)の合計以外なので、1-(4/9+1/6)=7/18です。(3)、1回目白玉を取り出す確率をpとすると、2回目白玉を取り出す確率は(1-p)×1/3+p×1/2を展開してください。(2)よりp=7/18なので、代入計算すると43/108となります。同様にpに43/108を代入すると3回目白玉を取り出す確率が259/648となります。(4)、2回目白玉を取り出した時、袋の色が白である条件つき確率は、43/108のうち、7/18×1/2です。最後、3回目白玉を取り出した時、赤赤白だった確率は、259/648のうち、赤赤白の確率を計算してください。最初の袋の色は関係ないことに注意すると、11/18×2/3×1/3になり、88/259となります。確率漸化式は難しいため理系でも苦手な人が多く、特にこの問題は袋の色と玉が絡み合うのでかなり混乱した受験生が多かったと思われます。

 第4問は整数です。全体的なストーリーは分かるのですが、何かいまいちな問題だと思います。とりあえず、(1)(2)の答えが見つけにくいです。(1)、49x-23y=1の解を、x=1,2,3…を代入することで見つけないといけません。結果x=8でやっと成立します。(2)、49x-23y=±1の解をまた見つけないといけません。x=8です。次に49x-23y=±2の解を見つけます。x=7、y=15です。とにかく面倒です。(4)のフリなので大事な作業ではありますが…。(3)、 連続3整数a,a+1,a+2に関する基本問題。aとa+2は差が2なので、最大公約数は1か2(互除法の考え方より)です。またa(a+1)(a+2)は6の倍数です。(4)、6762を素因数分解します。2,3,7^2,23で構成されています。(3)より連続3整数は6の倍数なので、b,b+1,b+2のいずれかが49の倍数、23の倍数でないといけません。b+2=23×15とすろと、(2)よりb=23×15-2=49×7となり条件をすべて満たし、b=343と分かります。ここで(2)の実験が生きてきて、あの苦労が回収されるのですが、受験生にとっては最後まで到達しなくても1点でも多く稼ぎたいわけで、そういう意味ではあまり良問とは言えないでしょう。

 第5問は図形ですが、一昔前の数T三角比と数A平面幾何の融合問題みたいな出題です。そのくらい三角比が中心です。いきなりcosって…。内接円の半径は数Tの面積公式を使って求めてください。S=1/2r(a+b+c)より求められます。ADの長さはxとおくと接線の長さの性質より、BC=(4-x)+(5-x)=7となって1と分かります。DEの長さは余弦定理より求められます。右頁、BQ/CQはチェバの定理より求められ、BQ=3と分かり、Qが接点だったとわかります(なお、三角形の頂点と内接円の接点を結んだ線の交点は1点で交わります。これを刈屋の定理といい、点Pをジェルゴンヌ点といいます)。それが分かればIQは内接円の半径のことなので1問目の答えと一致します。最後気づきにくいですが、cos∠DFEを求めるのですが、途中でDEを求めているので怪しいと思ってください。△ABCの内接円は、△DEFの外接円でもあります。よって正弦定理よりsinが分かり、明らかに鋭角なので相互関係よりcos∠DFEが分かります。最後sinにしてくれれば気づきやすいのに…。例年みたいな初等幾何ではないので、三角比が得意なら点を稼ぎやすい問題でした。

 ということで、今年数Aは第3問・第4問がきついので数A40点稼ぐのはきついかもしれません。ただ、今年は数Tが簡単なので、そこで時間を稼げたかが勝負の分かれ目かもしれません。

数学T専用問題

 今年も数学T・Aと違うところを書いていきます。

 第1問[1]数と式は途中に追加問題(1)(2)があります。(1)、1/2√2の時とあります。場合分けした後なので、どの場合かを判別すればいいのですが、結局2√2と3どっちが大きいか分かればいい訳です。2乗すれば8と9なので3の方が大きいですし、√2≒1.4と分かればそれでもかまいません。よって1番上の場合と分かり、4a+1に代入して分母の有理化してください。(2)、真ん中の場合の値域を聞いています。-2a+3は1次関数なので、定義域の端だけ代入すればいいです。何か最近中学知識の1次関数の値域も良く出題されますね。これ以外は数学T・Aと共通です。なお、[2]の命題は完全に共通です。

 第2問2次関数は数学T・A第1問[3]と一部共通で、途中に追加問題(2)(3)があります。(2)、グラフがx軸と共有点をもつ時ですが、Dを使ってもいいのですが、(1)で頂点のy座標を整理して求めているので、これを使った方が良いでしょう。このy座標が0以下になればよいです。bの2次不等式を解の公式を使って解いてください。また、b>0なので、解が1通りになります。(3)、x軸と接し、a=√3の時の問題です。これは(2)で今解の公式を使って2次不等式を解きました。これを2次方程式とするのが賢明です。(2)の答えを=に直し、a=√3を代入するとbの値が分かります。x軸との接点のx座標は、(1)のx座標b/2-aに代入すると2と分かり、y=(x-2)^2と分かります。0〜√3においてはxが0の時最大値4、xが√3の時最小値です。代入して乗法公式を展開すると最小値が7-4√3となります。下手に判別式Dをやったりまた改めて計算しようとすると、計算が煩雑になり混乱します。うまく前問の答えを利用してください。なお、(4)は(2)(3)の答えは活かせないのであしからず。

 第3問は三角比ですが、かなり中学幾何的な内容を含みます。数学T・Aの第2問[1]とは全く異なる新作の問題ですが、垂線が絡むのは似ています。また第5問の平面幾何のように円が絡みます。そういう意味ではバランスが取れているのかも?まず2辺と1角が与えられています。cosBが出てくるので、bで始まる余弦定理を使ってください。bの2次方程式を解くとb=1,3と分かります。以下b=3の場合を考える問題ですが、b=3だと鋭角三角形です。そこに気を付けて図を書いてください。(1)は中学幾何です。BD=xとおいて、CDの長さを三平方の定理(△BCDと△ACD)で2通り表して方程式を解いてください。BDの長さが出ます。次は円周角の定理より、∠AEC=∠ADC=90°なので、また同様に三平方の定理(△BAEと△CAE)を使えばBEの長さが出ます。他のやり方もあるかもしれません。(2)、BOは△ABCの外接円の半径なので、正弦定理でBO=√5/2sinBより求まります。△BDEと△BCAが2辺の比と夾角が等しいので相似です。∠BCA=∠BDEとなり、相似比は1:√2(BE:BAなど)なので、DE=AC/√2で出ます。円周角の定理より、∠ACP=∠ABPで、∠BCPはBOが半径なので円周角の定理より90°です。相似より∠BCA=∠BDEで、先程の∠ACP=∠ABPと足すと、∠BDE+∠ABP=∠BCA+∠ACP=90°、△BDEの三角形の内角の和より、∠BQD=90°となります。最後、△BOD+△BOEですが、両方の三角形の底辺をBOと見ます。先の直角より高さがDQとEQになるので、この2つの三角形の面積の和は、1/2×BO×(DQ+EQ)=1/2×BO×DEとなり、求めた答えを代入すれば面積の和が出ます。中学幾何をかなり使い、垂線と2つの円が絡むので、全問正解するのは数学Tの受験層を考えてもかなり難しかったのではないでしょうか。とはいえ、数学Tの三角比だと使えるのは三角比と中学幾何くらいなので配点30点だとこういう構成になるのは仕方ないのかもしれません。

 第4問データの分析は(2)と(5)が追加されています。(2)は折れ線グラフが追加されただけです。正解はCです。⓪は四分位範囲と勘違いしないでください。範囲は最大値と最小値の差なので60日近くあります。@、差は2013年が60日超えているので間違い。Aは2016、2017年が第1四分位数超えているので間違い。Bも2016、2017年が中央値超えているので間違いです。Cは北海道のデータはすべて第3四分位数を超えているので正しいです。たぶん言葉の意味を理解しているかという出題でしょう。(5)、相関係数を計算させる問題。今年も標準偏差と共分散が表に書いてあるので、87.9/(12.4×9.78)をただ計算すれば良いです。2年連続でこの計算が出ました。ただ公式を知っているかというだけで実に簡単な問題ですが、平均など使わないデータに惑わされないでください。(4)が重すぎるので、簡単にしたのかもしれません。

 数学Tは第3問以外が割と簡単な年なので、平均点も例年より高いようですが、配点30点と一番大きい三角比が、中学知識をかなり使うので、中学の図形の扱いを覚えていたかにかかわってきます。そういう意味でも、安易に数学Tを受験することは気をつけたほうがいいと付け加えておきます。ただ、今年は数学Aは難しかったんですけど。
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大学入学共通テスト 試行問題

2018/11/17 03:14
 先週末、2021年1月からセンター試験に代わって始まる「大学入学共通テスト」の試行問題(プレテスト)が行われました。自分もまだ解き終わってないのですが、概してあまり評判は良くないみたいです。

 端的に言って難しいという人が多いようです。東大・東工大などの最上級の大学受ける人にとっては、差がついていいのでしょうけど、確かに偏差値60以下の人にとってあれはきついと思います。今回は簡単に作ったと言っていたくらいなので、実際はもっと難しいことが予想されます。

 数学に関して言えば、実際解くと一つ一つはそれほど難しくはないのですが、いちいちセリフで他人の考えを理解しないといけなかったり、最近のセンターの傾向でもありましたが問題文がとにかく長くなっているので、その分時間がかかります。数Tでは記述問題が出て(今回は簡単でしたが)、数学Uは微積が少なく、図形と方程式や軌跡・領域が中心になっていることには驚きました。2022年から始まる新課程では、数学Bにベクトルがなくなり統計が必修化されるので、統計の問題が先に来ているのにも驚きます。数学U・Bを60分で解くのはきつい・・・。

 それ以上に気になったのは、英語と国語の難化でした。まあそもそも平均点50点を目指して作っているそうなので(センター試験は6割)、仕方ないんでしょうけど。国語の記述問題はきついし、英語はリーディングとうたっているだけあって、すべて長文問題。民間テストと複合もするそうですが、これで4技能が本当に試せるかは謎です。いずれにしても、知識だけではどうにもならなくなるのはどの教科でも言えそうです。数学ですら読解力が要求されますからね。

 いずれにしても、現在の高校1年生からはこの共通テストを受ける人が多いでしょうから、この傾向を踏まえて学習をがんばってください。ちなみに河合塾のサイトが一番情報が多かったので勝手にリンク張っておきます。昨年・今年のプレテストの問題などにも飛べるのでお勧めです。
 https://www.kawai-juku.ac.jp/highschool/admission-sympo/ 
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映画「聲の形」

2018/08/26 03:37
 先程、日テレ24時間テレビの裏でEテレは映画「聲の形」を放送していました。今年も24時間テレビのアンチテーゼをやっているNHK(特に今年はさりげなく)、実に挑戦的で面白いですね。自分は相変わらず24時間テレビ苦手です。障害者にあんなことさせるのをかわいそうに思ってしまいます。ましてタレントはギャラ貰って、障害者はノーギャラでやらせて…。さて、映画は実に重い内容を含んでいて、こんな浅はかなブログで何を書いていいのかわかりませんが、自分には時間的にいじめられていた目線、先生の目線、障害者の3つの目線で見ることができました。

 あらすじは、聴覚障害者が普通学級に入ったことで起こるいじめをテーマにした話です。うん、この書き方もあまり良くないでしょうね。主人公の聴覚障害者西宮さんは、小学校でうざがられていじめられます。自分も小学生から高校生まで程度の差はあれどいじめられていました。高1のときが一番だったかな?クラス全員が×、敵状態でした。自分は当時は障害者ではなかったですが、でも、障害者は特にいじめられるきっかけがあるんだとこの映画で改めて思いました。学生時代は学校がどうしても社会の中心で、逃げ場がない感じがありますよね。でも、耐えられるなら耐えて(場合によっては逃げてもいいと思います)、大人になって自由になってほしいと思います。いじめを見ぬふりする生徒・先生、とくにこの映画はその描写がうまいです。第三者にも植野のような人、川井のような人、佐原のような人などいろいろ考えさせられました。

 この小学校の先生、自分の2年前までの教師時代をまさに投影していました。いじめを見ぬふりして、からかう生徒、もう一人の主人公石田に責任転嫁する。自分も教師としてそんな感じだったかもしれません。でも先生として何をしていいのかわからないんですよね。たぶんほとんどの先生がそうなのかもしれません。だって専門家でも障害者を特殊学級にいれるか普通学級にいれるか、または他にするか意見が分かれますからね。でもこの先生は西宮さんばかりに目が行って、結局石田君を助けられていないのはかなり問題かもしれません。石田君の「してきたことは跳ね返る」はいろんな意味で考えさせられました。

 そして障害者目線として。自分は2年前から障害者としてかろうじて生きています。自分が生きていることで周りにいっぱい迷惑かけています。現在は重度障害者として障害年金いただいているので、日本にも経済的に迷惑かけています。ホントにすいません、健康管理せずに障害者になった自分なんて死ねばいいのに。外出してもたとえば買い物でも、それだけでかなりお店や客に迷惑かけていますから。障害者に関する差別用語(ガイジやアスペ・池沼など)が流行るのも分かる気がします。障害者が社会に出ると、初めのうちは優しく接する人たちも、だんだんストレスかかえてうざいと思うでしょう。だからこそ主人公の西宮さんの行動・気持ちがすごくよく分かります。でもこの映画のメッセージ「君に生きるのを手伝ってほしい」が、最後にちょっとうらやましくも思える作品でした。
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2018 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

2018/02/05 11:38
 さて、もう2月になってしまいました。全然速報性がないのは許してください。前回のブログにも書いたとおり、wordの新しい数式エディタに慣れなく苦戦しています。xの文字すら角ばったり丸くなったりで安定しない…。いつものごとく、河合塾のHPでは解説講義を公開しています。詳しくはこちらをご覧ください。
 http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/18/lecture.html

数学U・B
 第1問[1]は三角関数でした。この問題は割と基本に忠実な出題かと思いました。(1)、ラジアンの定義が出たのは、おそらく初めてではないでしょうか。(2)もラジアンの基本問題。180度=πラジアンを使って計算してください。(3)が本題。誘導通り解いていきましょう。間違っても@をいきなり加法定理使わないように。x=θ+π/5を使えば、θ=x-π/5なので@を変形できます。この式でcosの加法定理を使うとπ/6の三角比を使えばかなり簡単になります。三角関数の合成をすると、2sin(x-π/3)=1となり空欄が埋まります。最後定義域に気を付けて解いてください。だいたい第2象限あたりだなと分かれば、一発で150度を利用すればよいでしょう。丁寧に定義域計算するの結構めんどいので。最後にπ/3足してπ/5引けば答えが分かります。加法定理と合成を使った、割と典型的な方程式問題だったと思います。

 第1問[2]は指数対数関数の出題でした。見た目難しそうな不等式の問題です。ですが、これも誘導通りやっていけばそんなに難しくありません。3を底とする両辺の対数をとれと言っています。この操作は数Vやった人なら慣れているはずです(対数微分法に似ている)。真数の性質などを使えばtの2次不等式になります。c=√9(3乗根)のとき、t^2-3t+2≧0になるので答えが分かります。真数条件よりx>0なのでxの範囲も分かります。右頁、x>0の時ですが、これって真数条件そのもので、tの値はマイナスからプラスまでどんな値もとることができます。よって実数全体を答えてください。最後Bが常に成り立つ条件ですが、結局D≦0になればいいです。よってこれを解けばcの範囲も分かるという流れでした。出題が途中cの値を与えていて、最後cの不等式になるのは少し違和感を感じます。(1)〜(3)などのように区切った方がいい出題かと思います。その点を除けば割と平易な問題で、数Tの2次不等式も絡んだ面白い問題でした(今年数TAの方に2次不等式の出題がなかったので)。

 第2問は微分積分なのですが、珍しく[1]22点[2]8点と分かれています。メインは[1]で、こちらは例年の傾向通りの出題です。[1]は放物線と直線が接している問題です。(1)接線の傾きは直線の傾きで2です。よって、y'=2px+qのxに1を代入して、q=-2p+2となります。CがAを通るから(1,1)を代入して、r=p-1です。(2)ここから急に計算量がハードになります。Sの面積を求めるというので、頑張って(1)のqとrを代入して1からvで積分してください。またTの面積はただの台形なので直線を積分する必要はありません。U=S-Tがv=2で極値をとるといっています。よってv=2のときU'=0になる必要があります(数Uでは)。よってUを微分してv=2を代入したとき0になる3次方程式を解いてください。解の公式を使うとV0の値が分かります。1からV0の範囲では常に負です。それはグラフを書けばわかります。最小値ですが、そのグラフよりv=2で極小かつ最小となるので、vに2を代入してU=-1を求めてください。

 [2]ですが、こちらはたぶん初めての微分と積分の関係にまつわる問題でした。問題文の条件を落ち着いて式で表していくとよいでしょう。まずWは1からtまで-f(x)の定積分です。F(x)はf(x)の不定積分なので、F'(x)=f(x)です。またW=-F(t)+F(1)です。それを利用してf(t)を求めろといっています。Wは二等辺三角形の面積と等しいので、ここで頑張って求めます。二等辺三角形は左右対称なので、底辺t^2-1,斜辺t^2+1の直角三角形において三平方の定理より高さが2tとなり、W=2t^3-2tと分かります。定積分と微分の関係よりW'=-f(t)なので、W'=-f(t)=6t^2-2より最後の答えが分かります。ここで書くと一見簡単ですが、問題文も長いので何やってるか見失いそうになる人が多かったと思われます(まして試験会場の緊張した場ならなおさら)。

 第3問は数列。最近数列では、複雑な漸化式や、指数と絡めたりと難問化していたのですが、そういうのはなく純粋に数列だけの問題で、今年はシンプルな問題でした。昨年の追試の問題に似ています。(1)(2)は等差数列、等比数列の基本問題。和から一般項を求めるのは完全に教科書レベルの問題です。連立方程式を解いてください。(2)の等比数列の方は初項=36/rとして解くのが確実でしょう。まあマーク欄から答えを適当に推測するのも手です。ここまでで12点はおいしすぎです。(3)が複雑です。cnがΣで与えられているのですが、そのあとの具体例の方が分かりやすいでしょう。階差数列dnを表したものを選べということですが、dn=cn+1-cnを使って式を一回書き出してみてください。anの方がa1からan+1まで足した式が出てきて、bnの方がb1からbn+1まで引いた式が出てきます。つまり、dnはSn+1-Tn+1です。すると(1)(2)の答えのnをn+1に変えて計算してください。最後、階差数列の公式を使うと、cnの一般項が出てくるという流れです。この誘導がなければcnの一般項なんて求められないと思いますが、なんかよく分からないが自然と解けてる…。答えが簡単になるので、よくこんな問題作ったなあと感心します。その意味でも面白い問題でした。

 第4問はベクトル。今年も平面ベクトルでした。これも(4)以外は楽勝の問題でかなりの点数を稼げます。(1)は位置ベクトルの定義のようなものです。ベクトルAB=q-pで、これを2乗すれば次の空欄も埋まります。(2)は内分の公式そのままです。(3)、見た目はきつそうです。誘導通りAからq=を解いてください。FEの方も同様にq=を解いてください。BとCは同じもので平面ベクトルの1次独立より、係数が等しくなるはずです。よって、その式よりsとtが分かります。連立方程式ではないただの式変形です。(4)、与えられた条件を数式で計算していきます。ベクトルBE=aベクトルBCの方ではなく、ベクトルBF+ベクトルFEを使ってください。すると(3)のtの答が使えます。ABとBEの大きさが同じということからaの分数式になります。その式を約分すれば最後の解答が分かります。こんなところに数Uの分数式の知識が融合される問題があったとは…という感じで、はっとさせられました。あまり分数式の出題は記憶にないですからね。

 でも全体的には融合問題がほぼ皆無でした。まあ融合すれば平均が下がるのは目に見えていますからね。今年も誘導通りやっていけば解ける(自分で考える必要のあまりない)順当な問題でしたが、いつかは10年くらい前のように高次方程式や領域と融合する問題が出るかもしれません。数Uのどの分野から出てもいいよう対策して、来年以降の受験生は頑張ってください。

数学U専用問題

 第1問・第2問は今年も完全に数学U・Bと共通なので、第3問から見ていきます。

 第3問は図形と方程式で、割と標準的な問題でした。(1)は点取り問題。2点を通る直線の公式と円の公式(平方完成)を使ってください。(2)は△ABPの重心Gの軌跡を求める問題です。軌跡の教科書レベル問題です。まず重心の公式よりsとtを求め、3倍してaとbについて解きます。(1)で求めた円の方程式をa,bで書き換えた(a+3)^2+(b-6)^2=9に代入して9で割ると、(2)の軌跡が分かります。(3)、Qが(2)で求めた円上、Rが線分AB上を動くという問題です。円の中心を通り垂直な直線は垂直条件より求めてください。2直線の交点は連立方程式を解いてください。するとx座標が0なので1:2と分かります。QRの最小値ですが、図を書いて考えてください。これは(2)の円の中心から線分に下した垂線の長さー円の半径になります。点と直線の距離で垂線の長さを求めてください。そこから半径1を引いたのが答えです。最大値はABの中で垂線の足から遠い方Bでなるはずです。円の中心からBまでの距離+1が答えです。2点間の距離の公式で求めるのが良いでしょう。以上、こういう流れです。領域以外全般にわたる問題で(3)はやや難しく、分量的にもいい問題だったと思います。

 第4問は複素数と3次方程式の問題でした。使うのは2次方程式の知識と割り算くらいですが、とにかく計算がめんどくさい…。まず(1)、-1+√6iを代入する問題です。ここを間違えると先に進みません。丁寧にこの複素数を3次の乗法公式に入れてください。これが0になるはずなので、実部と虚部=0の式をbとcについて解きます。2つの虚数を解に持つ2次方程式を作るのは定番でしょう。解の和と差を求め、x^2-和x+積=0にします。P(x)をこの式で割れというので割りましょう。商が分かれば十分です。余りは0になるはずです。その商の符号を変えたのが3次方程式の解です。(2)、剰余の定理よりP(-a+3)=6です。非常にめんどいですが、元の式にこれとb,cを代入してください。aの2次方程式よりa=4と分かります。最後、P(x)が分かったので商と余りより、P(x)=Q(x)(x-1)+13x+17となるので、P(x)から13x+17を引いてx-1で割ればQ(x)が求まります。第3問も第4問も(1)で間違えると0点の危険性もある問題でしたが、入試ってセンター試験に限らずそうですよね。はじめ簡単でも検算しつつ確実に解いてください。
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無事、運転免許更新できました

2018/01/31 21:27
 センター試験を解くのが遅れていますが、仕事してないのに忙しかった訳は表題の通りです。運転免許の更新時期で立て込んでいました。脳梗塞になった人は、運転免許の更新が一気にハードル上がります。通常の人は長くても2時間の講習と視力検査を受ければ、基本それだけで更新できます。

 自分の場合、まずは11月所沢の障害者リハビリセンターで、運転評価をやりました。所内でペーパーテスト(脳機能テスト)と実車運転などをやりました。右足もまだ動きがいまいちなので回転数をうまく調整できず、場合によってはアクセルを左に改造した方がいいといわれました。あと右手完全麻痺なので左手だけで運転のため、ハンドル旋回ノブを付けたほうがいいといわれました。そして、自分の場合、目をレーザー手術した影響もあり、視力も今までの裸眼では無理になったので、眼鏡を買いに行きました。そのために12月眼科でメガネ処方をもらい、別の日にメガネ屋さんで運転用メガネを買いました。

 1月、都庁の免許更新センターで、更新のために必要な診断書を貰いに行きました。脳梗塞であることを伝え、それ用の診断書を貰い、それをいつも通っているリハビリ病院で書いてもらいました。そして最後に、1か月前に予約してあった鮫洲の運転試験場で運転適性検査(無料)をやり、それに通過すればあとは通常の更新講習などを受ければいいという流れでした(適性検査の予約は東京の場合だいぶ待たされるので、とりあえず早めに予約した方がいいでしょう)。適性検査なのですが、難しい試験かと緊張していたのですが、一応シミュレータなのですが、高次脳機能検査ということで、運転中の画面に赤い点が出たらクラクションを鳴らすというものだけでした。1つ見逃しはあったのですが無事合格し免許更新できました。リハビリ病院でシミュレータをやった時、だいぶ人を引いていたので、シミュレータ怖いなと思ってたんですが、何とか一安心です。

 結果運転免許の更新に全日ではないにせよ、のべ6日間、費用は約3万円かかりました(眼鏡代中心)。条件はAT車限定(ギア操作中ハンドルを完全に離す危険性があるため)とメガネ等必要になりました。まだ仕事してないので、遊び用に車を買えるのはいつになるか分かりませんが、親父が自分と同じ介護状態(要支援1)となり、もしかしたら介護生活になるかもしれません。そうすると、家族で唯一運転できる自分が運転する必要が出てくるかも分からないので、更新しておきたかったのです。

 さて最後に、運転免許とは全然関係ないですが、センター試験解く遅れとして、wordの数式エディタ(3.0)が今月使えなくなりました。自分は教師なり立ての20代の頃から使っていて、今まで作っていたプリントもほぼこれだったので、実に迷惑しています。センター試験も、鉛筆で書くよりPC上で解く方がまだ早いのですが、新しい数式エディタに慣れず、実に苦戦しています。でも今日からまたセンター試験解いていくつもりです。
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2018 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

2018/01/14 23:10
 明けましておめでとうございます。さて、今年もセンター試験が無事行われました。センター試験もあと2年になりそうですが、とりあえず今年も感想を書いていきたいと思います。

数学T・A
 第1問は今年も3問構成。とはいえ、全く別問なので第を変えてもいいのではないかと勝手に思っています(おそらくマークシート用紙が第6問までの方がいいという理由でしょう)。[1]は多項式の計算。一見複雑なので、後回しにした方が落ち着いて解けるかもしれない問題でした。まず、xとnの多項式を落ち着いて展開し、その式にn=1を代入すると(x+1)(6-x)が作れ、n=2を代入すると(x+2)(7-x)が作れます。よって、Aの式が分かり、Xに代入するとAが2の8乗と分かります。ただ、n=1,n=2を代入すればいいことに気付けるかが微妙で、自分も全体像を把握するのに時間がかかりました。[2]は命題で、これは例年よりも簡単な問題でした。(1)20以下の自然数で、20の約数、3の倍数、偶数の関係を問う問題。AはCの部分集合ではないので偽。AかつBはないので真。(AまたはC)かつBは、6,12,18で真。dも落ち着いて書き出せば真と分かります。(2)は必要条件十分条件。絶対値の不等式が絡んでいます。pはqまたはrと同値で、必要十分条件。sは|x|>4なので、sはrの部分集合なので、sならばrといえ必要条件となります。まあ必要条件十分条件の意味を問いたいので、必要条件か十分条件かどちらかはまず選択させるでしょうね。

 第1問[3]は2次関数でした。今年も2次関数は最小値にまつわる問題で、やや重たいです。まずは平方完成し頂点を求めますが、今年の場合文字の分数式になります。とりあえず、頂点のx座標pだけなので、まだ全部平方完成する必要はありません。最小値がf(4)になるのは、pが4以上の時なのですが、また分数式の不等式なので、不等号の向き逆転に気を付けてください。最小値がf(p)となるのは頂点が定義域に含まれる場合です。a>0に気を付けて不等式を解いてください。最後、最小値が1になる時ですが、aが1以上の場合と1以下の場合に分けて解きます。aが1以上の場合は全部平方完成し、頂点のy座標が1になる時ですが、分数式になり結果2次方程式の解の公式が必要になります。かなり計算がめんどくさいです。まあこれだけ苦労して全部でやっと10点なので、やはり最後の方は後回しにしたい問題でした。

 第2問も3問構成で、[1]は三角比の問題でした。平面四角形の問題で、円も何も絡んでいません。△ABCに着目すれば3辺与えられているので、余弦定理からcosBが分かります。いわゆる相互関係よりsinBも分かります。右ページに行くと、何やら見たことない出題が出てきます。まずはACとABsinBを比較せよというので計算すると、ACの3より大きいことが分かります。つまり、BCを底辺にしたとき、ADがC側に下に傾いているとわかるので、ADとBCが平行になることはありません。つまりAB//CDです。それを利用すると、平行線のいわゆる同側内角の和が180°になることを利用すると、cos(180°-θ)=-cosθより、cos∠BCD=-7/9と分かるので、△BCDで余弦定理よりBDが求められるという流れでした。正弦定理やtanを全く使わないシンプルな出題でしたが、見慣れない問題なので戸惑う受験生がいたと思われます。

 第2問[2][3]はデータの分析で、全く計算はさせず考える力を問う出題でした。模試では計算が主体のようですが(最近はましになった?か分かりませんが)、この課程になってからセンター試験のポリシーは一貫しています。分析力を問いたいということです。とりあえず、箱ひげ図の問題が多いです。[2](1)はヒストグラムと箱ひげ図に関する問題。まあ1つ1つ選択肢を比較してつぶしていくのがいいと思います。結果ヒストグラム関連は間違いで、箱ひげ図が分かれば正解は1・6と分かります。(2)が一番の難問でしょう。XとWの散布図とZ(たぶんBMI?)の箱ひげ図を見て答える問題。正直、微妙な問題です。(b)と(c)が判断しづらいです。(a)は明らかに20と25の線の間に点が集中しているので男子短距離、(d)は15と20の間に点が集中しているので女子長距離です。(b)と(c)はやや男子長距離の方が30に近い方に点があることくらいでしょうか。やはり最大値か最小値に目を向けるしかないでしょう。(c)が男子長距離と分かれば、あとは選択肢を見ていけば4と5が正解と分かります。最後[3]ですが、共分散の公式の問題。でも知らなくて解けます。nxw(上バー)の公式が書いてあるので、この展開式を思い浮かべてください。出てくるのがnxwが2つマイナスで、1つプラスだから、答えは1つマイナスのnxwです。そういえばこんな公式があった気がする・・・位で結構です。この分野は毎年見たことない出題が出てます。そういう初見でも考え抜ける思考力を模試などで鍛えていくとよいでしょう。3年後の新入試でもそれが問われているようですから。

 以下、数学Aからの出題でいずれも20点になります。3題のうち2題を選択すればよいことになります。今年は例年よりも数学Aが易しいようです。

 第3問は確率でした。この現行課程になってから、期待値の代わりに条件つき確率が定番になりました。今年は2つのサイコロだったので考えやすかったのではないでしょうか。(1)、大きいさいころの4の目が出る確率は1/6。和が7になる確率は1/6。9になる確率は1/9。2つのさいころは表で処理するのが安全で確実です。(2)条件つき確率ですが、意味で攻めるか公式で攻めるかですが、分かる人は意味で考えれば明らかに楽です。Cが起こった時のAがおころ条件つき確率は、和が9になったとき、大きいさいころが4の目が出る確率を聞いています。和が9になる4通りの中で大きいさいの目が4の場合は1通りなので1/4です。逆にAが起こった時のCがおころ条件つき確率は、大きいさいの目が4の中で和が9になる確率を聞いています。小さいさいの目が5になる時だから1/6です。(3)AかつBとAかつCの確率に関して不等号を聞いています。独立試行の意味の出題ですが、あまりそれにこだわらずに具体的に考えたほうが無難です。AかつBとは大4小3の時だけなので1/36で等しい。AかつCとは大4小5の時だけでやはり1/36、これはAとCをかけた1/54より大きいです。(4)も確率の乗法でいけます。AでなくCが起こる確率は1/12なので、1/36×1/12=1/432。最後、ABCが1つずつ起こる確率ですが、大概こういうのは前問がヒントになっています。BとCは同時に起こることはないので、先の問以外では1回目AかつB、2回目AでなくCが起きる場合を考えればよく、あと1回目・2回目がその逆の場合なのでこの2つを足してから最後に2倍してください。1/36×5/36=5/1296なので、先の3/1296と足して2倍すれば1/81になります。確率に苦手意識がなければ易しい問題だったでしょう。

 第4問は整数。今年は不定方程式と約数の個数に関する問題でした。(1)、144を素因数分解し、約数の個数をこたえるもので、完全に教科書レベルですが、約数の個数(l+1)(m+1)(n+1)…の公式は今年は完全に必須です。(2)144x=7y+1は7で割って1余る数を聞いています。144という数が特徴的なので、x=1,2…と代入するのが早いです。x=2が答えです。その数を引いて、144(x-2)=7(y-41)という式に変形すれば、x,yの一般解も分かります。これも今では教科書にしっかり載っているので定番でしょう。(3)144の倍数で7で割れば1余る数というのは、完全に(2)のことで、x=7k+2と表せます。約数の個数が18個ですが、これはk=0を代入すればいきなり18個なります。k=0のときx=2で、(2)の左辺が144×2になります。つまり2が答です。約数が30個も理屈で考えるより、k=0,1,2…と代入するのが早いし確実です。k=3のときの23が答えです。理屈で考えたとき、2と3の因数にばかり着目してしまうので結果的にはかえって危険です。なかなか23が素因数に入ることに気付かないですから。

 第5問は平面図形でした。新課程ならではの空間図形が全然出ませんね。それはさておき、今年は角の二等分線とメネラウスの定理にまつわる問題で、図形に苦手意識がなければこれがいちばん易しいでしょう。角の二等分線の性質よりBDが分かります。AB・BEは方べきの定理よりBD^2と等しいので20/9となり、それを利用するとBE=10/9となります。右頁、BE/BDとAB/BCはどちらが大きいか計算しろというので計算してください。前者の方が小さいので、ACを底辺とみるとEDはDの方に下がっていることが分かります。よって、Cの延長側になります。さっきの第2問[1]でも似たこと書いたなあ…。するとメネラウスの定理よりCF/AFがわかり、AC=1を利用すると比よりCF=5/3になります。最後点Dですが、初めに角の二等分線と言っていたので、内心以外考えられないですが(中点出てこないので外心や重心になる可能性ほぼないですし…)、最後BFの長さを求めて確認しなと言っているので一応確認してあげてください。AB:BF=AC:CF(=3:5)となれば角Bの二等分線にもなっていることが分かります。時間あれば確認しましょう。

 今年は数Tがやや難しく数Aが簡単なので(いや、そうでなくても)、まず数Tを解かずにさっと眺め、数Aのどの問題からやろうかを考えると、きっと解きやすかったと思われます。数Tのはじめが面食らいますからね。

数学T専用問題
 今回も数学Tの方の問題も見ていきたいと思います。数学T・Aとの共通問題も多いので、違うところを中心に書いていきます。第1問[1]数と式は(1)までは全く同じです。(2)が追加されています。(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)=-16とのことですが、(1)でn=1のとき(x+1)(6-x)=x(5-x)+6、n=2のとき(x+2)(7-x)=x(5-x)+14と作ってあるはずです。よって、(X+6)(X+14)=-16となります。これを解くとX=-10となり、最後小文字のxを、2次方程式の解の公式を使ってください。これも(1)が解けていれば気づくでしょうが、やはり気づいていたかの方が重要な問題でした。[2]の集合と命題は全く同じでした。

 第2問2次関数は(1)まで、数学T・A第1問[3]と全く同じです。(2)、x軸と異なる2点で交わる条件はD>0です。いわゆるD'(D/4)の方で計算した方がいいです。そして切り取る切片の長さLが2<L<4になる条件ですが、L=2の場合とL=4の場合を方程式で求めて最後に大小関係を考えましょう。2次方程式の解の差なので、解の公式より√D'/aです。これが2になる場合は2次方程式の解の公式で、これが4になる場合は実は2次の項が消えるのでただの1次方程式になります。その間というのが答えになります。センター試験は空欄を埋める形式なので、たぶん答えは分かるはずですが、3/5と5-√13/2のどちらが大きいかは判定が実に微妙で、記述式だと迷うところでしょう。結論3/5の方が小さいです。切り取る切片の長さ問題は定番ですが、不等式になっているところがいやらしい問題でした。

 第3問は三角比で、数学T・Aとは全く異なる問題でした。旧課程の問題のように分厚く、問題も多く完答するのはかなり難しかったと思われます。(1)、3辺が与えられているので余弦定理でcosAを求め、相互関係よりsinAを求めます。(2)、CからABに下した垂線の足をHとするとき、AHとCHを求める問題です。直角三角形の三角比でもいいし、中学知識の△ACHと△BCHで三平方の定理を2回使って連立方程式を解いても良いと思います。次にAH=HDとなる点Dをとると書いてあるので、△AHDが直角二等辺三角形であることよりAH=2√2となり、CD=CH-DHから分かります。△ACDの面積は△ACH-△ADHより、√5-2です。今求めた三角形の面積を利用すると、面積公式よりsin∠CADも分かります。それが分かると正弦定理より、外接円の半径Rも分かります。この辺は流れは定番ですが計算がかなりめんどいです。最後、ABの中点をEとし、ADとBCの交点をFとしたとき、△ACFと△AEFの面積比を聞いています。AE=3なので、この2つの三角形の2辺の長さが同じことに着目すると、2つの三角形の面積比はsinAの比になります。sin∠CADはさっき求め、∠CAFは△AHDが直角二等辺三角形であることより、45°です。よって、この比になるのが答えでした。中学的な図形の慣れが必要で、図形の扱いに慣れない数学T専用問題受験生にはかなりきつかったと思われます。

 第4問データの分析は(2)まで、数学T・A第2問[2]のものと共通です。(3)は、相関係数を求める問題で一般的には大変なのですが、標準偏差と共分散の値が書いてあるので、ただ公式に入れて計算するだけです。(4)、身長Hの2乗の平均を求めるのですが、もともとHの2乗=10000Xなので、Xの平均値を10000倍した27500のFが答えです。最後、分散は(Xの2乗の平均)-(Xの平均の2乗)という公式がはじめに書いてあるので、27500-27456.49をしたAが答えでした。どのデータを利用すればいいか、情報量が多いだけに迷うかもしれません。数学T・Aの方が変な出題だったのは、これが先にあってこれだと計算の情報量が多すぎるといったところから少し文字計算にしようとしたのでしょう。でもこちらの方がセンター試験っぽいですけどね。
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