2020 最後のセンター試験 数学Ⅱ・B 感想と解法

 新型コロナが相変わらず蔓延していますが、みなさまお元気でしょうか。自分は今年はほとんど外出してなく、わずかに出かける通院も必要最小限だけのものにとどめています。新型コロナ第1波は超えたような感じですが、まだ油断はできません。

 さて、そろそろブログを更新しないと広告が必要以上に出てしまうこともあり、更新してみます。わざと?そのためにセンター試験を解くのを遅らせたというのもあります(やる気が出ないのが一番の理由ですが…)。今年は最後のセンター試験ということもあり、どこもあまり解説講義は公式にはやっていない感じです。ユーチューバー位なものです。動画以外では東進のHPのものがおすすめです。

数学Ⅱ・B

 第1問は関数の問題で、[1]三角関数[2]指数対数関数は例年と同じですが、今年はその中で(1)(2)と分かれ、実質4問になっています。

 [1](1)は三角関数の加法定理、合成、不等式の融合問題。まず、誘導通りcos(α+β)の加法定理を使うと、初めの空欄が埋まるはずです。つぎに不等式を移項・整理すると1/2 sinθ+√3/2 cosθ<0とかなり簡単になります。これを指示通り合成公式を利用すれば、2つ目の空欄が埋まります。最後に不等式を解いてください。定義域を確認し、sin<0だからπ~2πとなり、定義域を元に戻せば完成です。不等式自体は教科書のレベル以下だと思います。(2)は三角関数と2次方程式の融合問題。解と係数の関係を使うと、sinx+cosx=7/5と分かり、これを2乗するとsinxcosx=12/25 と分かります。解と係数の関係よりsinxcosx=k/25だから、k=12です。この2次方程式を解くと、x=3/5,4/5で、sinの方が大きいからsinθ=4/5、cosθ=3/5となります。この角度の範囲ですが、√の2や3の近似値を知っていれば早いでしょう。sin45°が0.71位、sin60°が0.86位なので、sinθ=4/5=0.8はこの間に入ります。√の近似値は5くらいまでは語呂合わせで覚えておきましょう。

 [2](1)は指数の形をした乗法公式の問題でしょう。a=t^(1/3),b=t^(-1/3)とおけばa-b=-3と書いてあるだけです。はじめの問いはa^2+b^2を聞いているだけなので、aとbをかけると0乗なので1を利用すると〖(a-b)〗^2+2ab=9+2=11です。次にa+bの値は、〖(a+b)〗^2を計算し、√を付ければOKです(どうせ指数関数は正なので)。最後a^3-b^3は乗法公式でも因数分解の公式でもどちらでも行けるはずです。因数分解の方が引くミスがなくていいかも。(2)は対数不等式と領域の融合問題。見た目複雑ですが焦らずに。logの中身の掛け算はlogの足し算という性質を利用し、√が1/2であることから、2X+Y≦10。2つ目は底の変換公式も利用すればY-3X≦4となります。この2つの直線の下側なので、2つの直線の交点を求めると、Y座標が38/5となり、Yの最大の整数は7となります。それを代入すると、1≦X≦3/2で、3≦x≦3√3です。また出てきました、√3の近似値1.73を利用すると5.1くらいと分かるので、xの最大の整数は5となります。近似値は何年かに一回くらい威力を発揮します。重要ですね。また今年はうまく数Ⅱの教科書第1章2次方程式や第2章図形と方程式をあまり難しくなりすぎないよう混ぜてきていますね。教科書レベルは万遍なくやっておきましょう。

 第2問は微分・積分の問題です。今年も共通接線の問題で、よくある問題だと思います。なにせaが入る計算なので、計算量は多めです。(1)、接点をtとおいて、接線の公式より1つ目の式を作ります。こちらはaは入らないので教科書レベルでしょう。2つ目は接点をsとおいて、また接線の公式より2つ目の式を空欄に合うよう整理します。①と②が同じなので傾きと切片が同じになるよう連立方程式を作ります。するとt=0、s=2aと分かり、接線もy=2x+1となります。(2)、CとDの交点は連立方程式を解くと、x=aとなります。Cとℓとx=aで囲まれた面積は、Cからℓを引くとただのx^2になるので、それを定積分すると求められます。これは簡単設定です。(3)、分かるところは正確に図を書いてください。点(0,1)でCとℓは接し、x=aでCとDは交わり、x=2aでDとℓは接します。a>1のときはDは関係なく、Cとℓとx=aで囲まれた面積なので1/3です。aが1/2から1の時は、2つの部分があり0からaまでx^2の定積分と、aから1までDからℓを引いて定積分し、その2つを足してください。この計算がややえぐいです。後半の積分は因数分解して数Ⅲの置換積分を知っていればやや簡単になります。ただ3乗の展開計算も必要になるので普通の積分でコツコツやってもそんなに変わりません。(4)、U=2T-3Sの最大値は今求めたTから(2)のSを引いて、ただ微分してください。おそらく真面目に増減表書かなくてもa=2/3で最大値をとりそうとわかるはずです。あとは代入すれば解けます。(3)で正確に図さえかければ全体的な難易度はそれほど高くはないですが、aが入っているので目に見えずらく、文字式の計算が多いので検算が大変だったと思われます。

 以下、第3問から第5問は数学Bの選択問題です。各自2問選択してください。

 第3問は数列で、漸化式を誘導通りに解く問題です。とにかく見た目が複雑で、やる気を削がれます。計算スペースも狭くて受験生にはつらかったと思われます。ただ、(1)と(4)は途中分からなくても誰でも挑戦してもらいたい問題です。まず(1)、見たことない漸化式でも、とりあえずn=1を代入してみましょう。第2項は6と分かります。(2)、bnと書かれた式にn=1を代入するとa1=0なのでb1=0です。①の両辺を割れというので分数で割り算してください。すると左辺がbn+1になっていると気づくはずです。右辺は(n+3)が消え、{ }の中を3^n+1で割っていってください。anをbnに置きなおしていくとウ~カの空欄が埋まるはずです。その式を部分分数分解すると、キが1と分かります。右頁、部分分数分解した数列の和は、初項と末項だけ残るので、その式を通分するとク~コが埋まります。次のΣは、初項1/9、公比1/3、項数n-1の等比数列の和なので、和の公式を使ってサ~セの空欄に合うよう式変形してください。左辺のΣ(bk+1-bk)=bnになるので、先の2つを単純に足せばOKです。ク~セの答えを通分して約分してください。これで山は越えましたが、受験生にはちょっとしんどかったと思われます。(3)はanに戻すだけ。(2)の答えに、3^n×(n+1)(n+2)をかけてください。(4)、3で割った余りを考える問題。(1)ができていればノハは0と分かるはずです。nが3の倍数の時だけ考えます。(3)の答えより、右辺の第1項は3の倍数なので、(n+1)(n+2)/2の所がどうなるかだけ考えます。真面目に言えばn=3kのとき、ほとんど3で割り切れるので2/2の項だけ、つまり1なので余りは1になります。マークを埋めるだけなら、n=3を代入すれば余り1とも分かります。最後第2020項までの和ですが、3で割れる項を無視すると、結局考えるのは先と同じ(n+1)(n+2)/2だけ。それは0,0,1,0,0,1…と繰り返すので、2020÷3=673…1なので、1が673個あるとわかります。これを3で割ると余りは1となり最後の答えが分かります。(2)が分からなくても最後3で割ったあまりは0か1か2なので、イチかバチか埋めましょう。根性で第3項を求めれば55なので、ネノハの空欄も1,0,0と分かります。あきらめずに細かく点を稼ぐ努力はしましょう。誘導に乗るだけなので知識・思考力はあまり要りませんが、ただとにかく分数式や指数の計算力を問われる複雑な問題でした。

 第4問は空間ベクトルの問題で、今年第1問から第3問が難しいのに比べれば、まだ難易度はましな問題だったと思います。(1)は公式だけ。ベクトルの大きさの公式と、内積の公式で当てはめて計算してください。計算が複雑ですが、これで6点はおいしいです。(2)、OCが与えられているので、このまま使いましょう。内積を大文字のままで計算しましょう。OA・OC=0より、3s+2t=0。OB・OC=24より、3s+4t=2となるので、この連立方程式を解くと、sとtの値が分かります。ベクトルOCの大きさは、いわゆる大文字で攻めても小文字で攻めてもいいです。自分は成分を出して大きさを求めました。意外に簡単になります。(3)、ベクトルCBの成分は(2)の答えから(2,2,-4)となり、Aの座標と2:3になっているとわかり、CB//OAとなります。OA⊥OCであることより、長さが3/2倍の台形と分かります。台形の面積は(上底+下底)×高さ÷2より、(2√6+3√6)×2√6÷2=30となります。(4)、Dの座標を(x,y,1)とおいて解きましょう。OA⊥ODよりx+y=2、OCを成分で求めてからOC・OD=2√6を頑張って計算してください。x-y=√2となり、この連立方程式を解くとx,yが分かります。∠CODの大きさですが、成分で行こうとすると地獄を見ます。大文字で攻めてください。まずODの長さを求め、内積の公式より角度を求めると60°と分かります。最後、空間図形的に考えるのも定番ですが、ややイメージしにくいです。いま求めたOD=2、∠COD=60°を考えると、Dから降ろした垂線、つまり高さは1:2:√3より高さが√3となります。△ABCの面積は先の台形より2√6×2√6÷2=12なので、底面積×高さ÷3で最後の答えが分かります。計算がやや煩雑なので、時間はかかるでしょうが、考え方は標準的な問題でした。数学Ⅱ・Bは今年も平均点50点を切っているので、極端な難化はしないでしょうが、過去問よりは難しいと予想されます。図形と方程式などもぬかるなく対策頑張ってください。

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