2019 センター試験 数学Ⅱ・B 感想と解法速報

 引き続き数学Ⅱ・Bの方も見ていきたいと思います。まあ昨年よりは早く記事書けたと思います。さて恒例ですが、河合塾のHPでは解説授業を期間限定で公開しています。今年もリンク張っておくので、見たい人はご覧ください。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/19/lecture.html
 なお、東進や城南予備校のHPでも解説があったので、リンク張っておきます。
・東進→https://www.toshin.com/center/
・城南→https://www.johnan.jp/sokuhou/(←ワンポイント解説の所)

数学Ⅱ・B
 第1問[1]は三角関数でした。(3)が意外な形で整数が絡みますが、問題は典型的な部類だと思います。(1)は三角関数の値を計算する問題。ただ、値を代入して計算してください。(2)、2倍角の公式で変形する問題。まあ普通半角の公式と呼ばれるやつです。sinの方も半角公式使えば変形できます。(3)、三角関数の合成をしなさいと言っています。角が2θで統一されているので合成してください。ここまで基礎が分かっているかどうかを確認する問題です。誘導なくてもできたい問題です。次、最大の整数値mを求める問題ですが、sinの値は1~-1なので、合成した結果最大値は2√2+1となります。√2は1.4くらいなので3.8くらい。つまり最大の整数値は3となります。そのf(θ)=3を解く問題です。sin(2θ+π/4)=1/√2となるので、2θ+π/4=π/4と3π/4です。θ=π/4,π/2となります。定義域の確認も今回は不要です。三角関数に苦手意識がない限り取りたい問題です。

 [2]は指数・対数方程式の問題です。見た目に圧倒されますが、誘導に乗ればそんなに難しくはありません。まず真数条件より、x>-2,y>-3です。底の変換公式より、log(2)4が分母に来ます。log(2)4は底が2、真数が4です。以下同様。②から式変形、これがそこそこ大変です。logの引き算より、log(2)x+2/y+3=-1。logの定義より、x+2/y+3=1/2となり、この分母を払うとy=2x+1となります。右頁、tで表すのも指数計算が必要になります。2x+1乗は、掛け算と累乗になおしていくと、tの2次方程式になります。2次方程式解く前に定義域の確認せよと言っています。t=(1/3)^xは減少関数なのでx>-2より、t<9。指数関数なのでt>0です。これより、tの2次方程式解くとt=2となります。最後x,yの値ですが、t=(1/3)^xより、2=3の-x乗です。logの定義より-x=log(3)2だから、x=log(3)1/2となります。y=2x+1なのですが、これも意外と大変です。まず2倍は、真数の2乗になおし、+1はlog(3)3に直して掛け算すると、空欄に当てはまる形になります。真数条件を指数方程式の条件に使うところなど巧みな出題だと思いました。

 第2問は微分・積分の問題でした。後半がやや難しいです。(1)、3次関数が極値をとる条件は微分係数が0になることです。f'(-1)=0,f(-1)=2の連立方程式を解くと、p,qの値が分かります。その3次関数の導関数より、もう一つの極値も分かります。(2)、別の2次関数Dが出てきます。接線ℓの方程式は2次関数を微分して傾きを求め、式を整理してください。ℓとx軸の交点のx座標はy=0より、x=a/2と分かります。Dとx軸とx=aで囲まれた面積はただの積分ですが、x軸より下側なのに気を付けてください。Dとx軸とℓで囲まれた面積Sは積分せず、今求めた面積からℓとx軸とx=aで囲まれた三角形の面積を引いてください。(3)、(2)の点Aが(1)のC上にありℓが共通接線になる問題です。かなり図は複雑ですが、誘導に乗りましょう。点AがC上にあるので、f(a)=a^3-3a=-ka^2です。kについて解いてください。ℓとCの接点のx座標をbとし、ℓをbを用いてとあります。一回aは置いといてbで立式してください。3次関数よりf' (b)=3b^2-3を利用し3次関数の接線の方程式を公式などより作ってください。この②の右辺をg(x)とし、f(x)-g(x)を計算・因数分解しなさいと言っています。3次関数f(x)から②を引くと3次方程式ができます。これは接点がbなので、(x-b)で2回割り切れるはずです。割ってみると(x+2b)という因数が答えに当てはまります。この因数は点Aを表すので、a+2b=0、つまりa=-2bとなり、傾きを比較すると-2a(3/a-a)=3b^2-3となるので、a=-2bを代入してください。ここで初めてaとbをつなげます。するとa^2=12/5となり、Sに代入するとSが求まります。自分もそうだったんですが、途中でaとbをつなげるとドツボにはまり混乱します。空欄の形を見ながら誘導に乗ってやっていきましょう。近年は共通接線の問題が多いですね。なお、積分については簡単なことが多いようです。まあ積分計算はミスすればすべて終わりで、10年以上前のような積分計算中心の出題はもう出にくいかもしれません。

  以下、第3問から第5問は数学Bの選択問題です。各自2問選択してください。

 第3問は数列でした。等比・階差数列・漸化式というオーソドックスな内容ですが複雑です。(1)、等比数列の和であることに気を付けましょう。3+12=15で、階差数列より-1+3=2です。言葉・問題の意味を理解したかを見る問題でした。(2)、Snの一般項は、等比数列の和の公式で出ます。TnはこのSnを使い、階差数列の公式を利用しΣ計算して空欄の形に合うよう変形してください。(3)、anとbnが出てきて一気に複雑になります。初項b1はa1+2T1を利用すれば-5となります。次から山場です。まずTnの漸化式を作る問題ですが、(2)の答えより、Tn+1を作ればTnの4倍が絡んでいることが予想されます。4Tnを作って引けば空欄に当てはまる形ができました。次にbnの漸化式を作る問題ですが、これがかなり複雑です。まずbn+1を作り、そこにanの漸化式とさっき作ったTnの漸化式を代入し、かんばってbnができるまで変形してください。これはかなりの分数計算になります。そうすればいわゆる特性方程式型の漸化式なので、これを解きます。{bn+2}は初項-3、公比4の等比数列なので一般項が分かり、anの一般項は、nbn-2Tnに代入し通分したりして変形すると最後の空欄が分かります。少し誘導が強引で、Tnやbnの漸化式を作るのが大変です。まあそれでも誘導がないとたぶん解けないので仕方なくやるしかありません。

 第4問は久々の空間ベクトルでした。問題数は多いですが、割と典型的な問題ではないでしょうか。(1)、∠AOCは内積0より90°。△AOCは直角三角形の底辺と高さが1と√5より求められます。(2)、BAとBCの内積はBA=a-bと小文字に直して計算します。BAやBCの大きさも同様にして2乗して計算。この3つが分かると、内積の定義よりcosが分かり角度が120°と分かります。AD//BCより図を描くと、これは等脚台形となり、∠BACや∠ADCが60°となります。これは正三角形3つに分割できるので、AD=2BCとなります。ODはAD-AOなので、今求めたベクトルを代入すると計算でき、面積はAB=√2だから正三角形3つ分で分かると思います。(3)、BH⊥aより内積0です。BH⊥cも同様で、BH=OH-OB=sa+tc-bとすると、内積計算よりsとtの方程式ができます。これよりsとtの値が分かります。BHの2乗はさっきのを頑張って展開計算すると、BHの大きさも分かります。それが分かると体積も底面積・高さが求まっているのですぐ分かるはずです。(4)、OABCDの体積ですが、底面ABCDと考えると△ABC+△DACで、高さは共通です。△ABCの三角形1つ分に2つ分加わるので、3Vとなります。最後高さは(3)の答えと、(2)で求めた底面積ABCDを使うと高さが求まります。問題量が多いので、図形でつまずくか計算でつまずくかで止まってしまうと時間12分では終わらない可能性があります。でも全体的には昔からセンター試験でよく出題された傾向の問題だと思います。

 新課程では数学Bからベクトルがなくなり、統計が必修化されます。今年は簡単と噂なので、今後のために第5問の解説を試しに書いてみます。あまり知識ない上で書いてみるので、何か間違いがあったらご指摘いただけると幸いです。第5問統計分布です。今年はあまり確率実験的な問はありません。(1)、V(x)=E(x^2 )-{E(x)}^2の公式より、E(x^2 )=49+25=74です。W=1000Xとしたとき、期待値は1000倍の-7000、分散は1000^2倍で25000000になります。あとは空欄に当てはまるように有効数字表示してください。(2)、X≧0なら、X+7/5≧7/5、つまり1.4以上です。これが標準正規分布に従うと書いてくれています。0~1.4の確率が正規分布表より0.4192なので、右半分の確率0.5から0.4192を引いた0.08が、Zが1.4以上になる確率です。期待値は、E=npの公式より50×0.08=4.0、標準偏差は、σ=√np(1-p)の公式より、√4×0.92=√0.368で0.37です。(3)、σ(Yバー)は、σ/√100=0.6です。Z=(Yバー-m)/0.6は標準正規分布に従うとまた書いてくれています。|Z|≦1.64となる確率は正規分布表より、0.4495×2=0.899、つまり0.90です。最後mの範囲ですが、|Z|≦1.64より-1.64≦Z≦1.64で、Yバー=-10.2だから、あとはこの1次不等式を丁寧に解いてください。0.6倍し10.2を足し、不等式を-1倍すれば答えが②と分かるはずです。昨年は確率の計算もあったので難しかったんですが、今年は統計の基本公式と正規分布表の使い方を知っているだけで解けてしまう問題でした。2年前みたいに確率密度関数が出題されることもあるので、積分計算絡むこともありその場合要注意の分野です。

 ということで、今年は第5問選んでいれば楽に解けた年でしたが、たぶん現在の受験生は選ぶ人は少ないでしょう。いずれにしても第2問や第3問がやや難題だと思うので、それ以外で点数とれたかも重要な年だったと思います。今後の受験生は参考に頑張ってください。

数学Ⅱ専用問題

 第1問、第2問は数学Ⅱ・Bと共通です。

 第3問は図形と方程式でした。問題は典型的で、特にひねりもなく易しい問題です。(1)、2点A,Bを通る直線の方程式は公式でも連立方程式でも構いません。中2レベルです。(2)、内分点・外分点を求める問題も公式一発ですし、図がイメージできる人はたぶん直観でも解けると思います。(3)、点Pの軌跡を求める問題ですが、いわゆるアポロニウスの円です。ただ、その知識があっても不要です。誘導がなされていて、式変形の途中まで問われているので、ただ2点間の距離の公式より地道にやっていきます。2:1より、2乗すると4倍になります。3で割ると求める途中式になり、平方完成すると(x-4)^2+(y-3)^2=20となり、中心が(4,3),半径が2√5になります。(4)、(3)の円とy軸との交点は、x=0に代入してy^2-6y+5=0を解くとy=1,5となります。点(0,1)における円の接線の方程式は、公式でもいいですし、接点と中心を結ぶ線の傾き1/2に垂直を利用して求まります。点(0,5)における接線も同様に解けます。最後、y軸とl1,l2で囲まれた面積は、点(0.1)と点(0.5)の間の底辺の長さが4、2つの交点のx座標は-1なので高さ1の三角形なので面積は2です。図形と方程式ではいきなり軌跡を聞かれた年もあったので、絶対に軌跡はできるようにしておきましょう。領域もできるように。

 第4問は高次方程式でした。(3)だけ難しいと感じるかもしれませんが、それ以外は見た目以上に簡単です。まず因数定理よりx+1とx-3を因数に持ちます。(1)、異なる2つの虚数解をもつとき、解と係数よりと書いてあります。公式より、α+β=-a,αβ=bとなります。Q(x)の判別式というので、これも公式よりD=a^2-4b<0です。教科書レベルです。(2)、虚数解をもたない場合と書いてあります。要するに重解ということです。x=-1で3重解のとき、x^2+2x+1で①、x=3で3重解のとき、x^2-6x+9で②、x=-1で2重解かつx=3で2重解のとき、x^2-2x+3で⑤です。たくさん解答欄ある割には簡単です。(3)、P(x)がすべての実数xで0以上となる場合ですが、x^2-2x+3は-1

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