かねごんの放浪記

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zoom RSS 2018 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

<<   作成日時 : 2018/02/05 11:38   >>

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 さて、もう2月になってしまいました。全然速報性がないのは許してください。前回のブログにも書いたとおり、wordの新しい数式エディタに慣れなく苦戦しています。xの文字すら角ばったり丸くなったりで安定しない…。いつものごとく、河合塾のHPでは解説講義を公開しています。詳しくはこちらをご覧ください。
 http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/18/lecture.html

数学U・B
 第1問[1]は三角関数でした。この問題は割と基本に忠実な出題かと思いました。(1)、ラジアンの定義が出たのは、おそらく初めてではないでしょうか。(2)もラジアンの基本問題。180度=πラジアンを使って計算してください。(3)が本題。誘導通り解いていきましょう。間違っても@をいきなり加法定理使わないように。x=θ+π/5を使えば、θ=x-π/5なので@を変形できます。この式でcosの加法定理を使うとπ/6の三角比を使えばかなり簡単になります。三角関数の合成をすると、2sin(x-π/3)=1となり空欄が埋まります。最後定義域に気を付けて解いてください。だいたい第2象限あたりだなと分かれば、一発で150度を利用すればよいでしょう。丁寧に定義域計算するの結構めんどいので。最後にπ/3足してπ/5引けば答えが分かります。加法定理と合成を使った、割と典型的な方程式問題だったと思います。

 第1問[2]は指数対数関数の出題でした。見た目難しそうな不等式の問題です。ですが、これも誘導通りやっていけばそんなに難しくありません。3を底とする両辺の対数をとれと言っています。この操作は数Vやった人なら慣れているはずです(対数微分法に似ている)。真数の性質などを使えばtの2次不等式になります。c=√9(3乗根)のとき、t^2-3t+2≧0になるので答えが分かります。真数条件よりx>0なのでxの範囲も分かります。右頁、x>0の時ですが、これって真数条件そのもので、tの値はマイナスからプラスまでどんな値もとることができます。よって実数全体を答えてください。最後Bが常に成り立つ条件ですが、結局D≦0になればいいです。よってこれを解けばcの範囲も分かるという流れでした。出題が途中cの値を与えていて、最後cの不等式になるのは少し違和感を感じます。(1)〜(3)などのように区切った方がいい出題かと思います。その点を除けば割と平易な問題で、数Tの2次不等式も絡んだ面白い問題でした(今年数TAの方に2次不等式の出題がなかったので)。

 第2問は微分積分なのですが、珍しく[1]22点[2]8点と分かれています。メインは[1]で、こちらは例年の傾向通りの出題です。[1]は放物線と直線が接している問題です。(1)接線の傾きは直線の傾きで2です。よって、y'=2px+qのxに1を代入して、q=-2p+2となります。CがAを通るから(1,1)を代入して、r=p-1です。(2)ここから急に計算量がハードになります。Sの面積を求めるというので、頑張って(1)のqとrを代入して1からvで積分してください。またTの面積はただの台形なので直線を積分する必要はありません。U=S-Tがv=2で極値をとるといっています。よってv=2のときU'=0になる必要があります(数Uでは)。よってUを微分してv=2を代入したとき0になる3次方程式を解いてください。解の公式を使うとV0の値が分かります。1からV0の範囲では常に負です。それはグラフを書けばわかります。最小値ですが、そのグラフよりv=2で極小かつ最小となるので、vに2を代入してU=-1を求めてください。

 [2]ですが、こちらはたぶん初めての微分と積分の関係にまつわる問題でした。問題文の条件を落ち着いて式で表していくとよいでしょう。まずWは1からtまで-f(x)の定積分です。F(x)はf(x)の不定積分なので、F'(x)=f(x)です。またW=-F(t)+F(1)です。それを利用してf(t)を求めろといっています。Wは二等辺三角形の面積と等しいので、ここで頑張って求めます。二等辺三角形は左右対称なので、底辺t^2-1,斜辺t^2+1の直角三角形において三平方の定理より高さが2tとなり、W=2t^3-2tと分かります。定積分と微分の関係よりW'=-f(t)なので、W'=-f(t)=6t^2-2より最後の答えが分かります。ここで書くと一見簡単ですが、問題文も長いので何やってるか見失いそうになる人が多かったと思われます(まして試験会場の緊張した場ならなおさら)。

 第3問は数列。最近数列では、複雑な漸化式や、指数と絡めたりと難問化していたのですが、そういうのはなく純粋に数列だけの問題で、今年はシンプルな問題でした。昨年の追試の問題に似ています。(1)(2)は等差数列、等比数列の基本問題。和から一般項を求めるのは完全に教科書レベルの問題です。連立方程式を解いてください。(2)の等比数列の方は初項=36/rとして解くのが確実でしょう。まあマーク欄から答えを適当に推測するのも手です。ここまでで12点はおいしすぎです。(3)が複雑です。cnがΣで与えられているのですが、そのあとの具体例の方が分かりやすいでしょう。階差数列dnを表したものを選べということですが、dn=cn+1-cnを使って式を一回書き出してみてください。anの方がa1からan+1まで足した式が出てきて、bnの方がb1からbn+1まで引いた式が出てきます。つまり、dnはSn+1-Tn+1です。すると(1)(2)の答えのnをn+1に変えて計算してください。最後、階差数列の公式を使うと、cnの一般項が出てくるという流れです。この誘導がなければcnの一般項なんて求められないと思いますが、なんかよく分からないが自然と解けてる…。答えが簡単になるので、よくこんな問題作ったなあと感心します。その意味でも面白い問題でした。

 第4問はベクトル。今年も平面ベクトルでした。これも(4)以外は楽勝の問題でかなりの点数を稼げます。(1)は位置ベクトルの定義のようなものです。ベクトルAB=q-pで、これを2乗すれば次の空欄も埋まります。(2)は内分の公式そのままです。(3)、見た目はきつそうです。誘導通りAからq=を解いてください。FEの方も同様にq=を解いてください。BとCは同じもので平面ベクトルの1次独立より、係数が等しくなるはずです。よって、その式よりsとtが分かります。連立方程式ではないただの式変形です。(4)、与えられた条件を数式で計算していきます。ベクトルBE=aベクトルBCの方ではなく、ベクトルBF+ベクトルFEを使ってください。すると(3)のtの答が使えます。ABとBEの大きさが同じということからaの分数式になります。その式を約分すれば最後の解答が分かります。こんなところに数Uの分数式の知識が融合される問題があったとは…という感じで、はっとさせられました。あまり分数式の出題は記憶にないですからね。

 でも全体的には融合問題がほぼ皆無でした。まあ融合すれば平均が下がるのは目に見えていますからね。今年も誘導通りやっていけば解ける(自分で考える必要のあまりない)順当な問題でしたが、いつかは10年くらい前のように高次方程式や領域と融合する問題が出るかもしれません。数Uのどの分野から出てもいいよう対策して、来年以降の受験生は頑張ってください。

数学U専用問題

 第1問・第2問は今年も完全に数学U・Bと共通なので、第3問から見ていきます。

 第3問は図形と方程式で、割と標準的な問題でした。(1)は点取り問題。2点を通る直線の公式と円の公式(平方完成)を使ってください。(2)は△ABPの重心Gの軌跡を求める問題です。軌跡の教科書レベル問題です。まず重心の公式よりsとtを求め、3倍してaとbについて解きます。(1)で求めた円の方程式をa,bで書き換えた(a+3)^2+(b-6)^2=9に代入して9で割ると、(2)の軌跡が分かります。(3)、Qが(2)で求めた円上、Rが線分AB上を動くという問題です。円の中心を通り垂直な直線は垂直条件より求めてください。2直線の交点は連立方程式を解いてください。するとx座標が0なので1:2と分かります。QRの最小値ですが、図を書いて考えてください。これは(2)の円の中心から線分に下した垂線の長さー円の半径になります。点と直線の距離で垂線の長さを求めてください。そこから半径1を引いたのが答えです。最大値はABの中で垂線の足から遠い方Bでなるはずです。円の中心からBまでの距離+1が答えです。2点間の距離の公式で求めるのが良いでしょう。以上、こういう流れです。領域以外全般にわたる問題で(3)はやや難しく、分量的にもいい問題だったと思います。

 第4問は複素数と3次方程式の問題でした。使うのは2次方程式の知識と割り算くらいですが、とにかく計算がめんどくさい…。まず(1)、-1+√6iを代入する問題です。ここを間違えると先に進みません。丁寧にこの複素数を3次の乗法公式に入れてください。これが0になるはずなので、実部と虚部=0の式をbとcについて解きます。2つの虚数を解に持つ2次方程式を作るのは定番でしょう。解の和と差を求め、x^2-和x+積=0にします。P(x)をこの式で割れというので割りましょう。商が分かれば十分です。余りは0になるはずです。その商の符号を変えたのが3次方程式の解です。(2)、剰余の定理よりP(-a+3)=6です。非常にめんどいですが、元の式にこれとb,cを代入してください。aの2次方程式よりa=4と分かります。最後、P(x)が分かったので商と余りより、P(x)=Q(x)(x-1)+13x+17となるので、P(x)から13x+17を引いてx-1で割ればQ(x)が求まります。第3問も第4問も(1)で間違えると0点の危険性もある問題でしたが、入試ってセンター試験に限らずそうですよね。はじめ簡単でも検算しつつ確実に解いてください。

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