かねごんの放浪記

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zoom RSS 2018 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

<<   作成日時 : 2018/01/14 23:10   >>

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 明けましておめでとうございます。さて、今年もセンター試験が無事行われました。センター試験もあと2年になりそうですが、とりあえず今年も感想を書いていきたいと思います。

数学T・A
 第1問は今年も3問構成。とはいえ、全く別問なので第を変えてもいいのではないかと勝手に思っています(おそらくマークシート用紙が第6問までの方がいいという理由でしょう)。[1]は多項式の計算。一見複雑なので、後回しにした方が落ち着いて解けるかもしれない問題でした。まず、xとnの多項式を落ち着いて展開し、その式にn=1を代入すると(x+1)(6-x)が作れ、n=2を代入すると(x+2)(7-x)が作れます。よって、Aの式が分かり、Xに代入するとAが2の8乗と分かります。ただ、n=1,n=2を代入すればいいことに気付けるかが微妙で、自分も全体像を把握するのに時間がかかりました。[2]は命題で、これは例年よりも簡単な問題でした。(1)20以下の自然数で、20の約数、3の倍数、偶数の関係を問う問題。AはCの部分集合ではないので偽。AかつBはないので真。(AまたはC)かつBは、6,12,18で真。dも落ち着いて書き出せば真と分かります。(2)は必要条件十分条件。絶対値の不等式が絡んでいます。pはqまたはrと同値で、必要十分条件。sは|x|>4なので、sはrの部分集合なので、sならばrといえ必要条件となります。まあ必要条件十分条件の意味を問いたいので、必要条件か十分条件かどちらかはまず選択させるでしょうね。

 第1問[3]は2次関数でした。今年も2次関数は最小値にまつわる問題で、やや重たいです。まずは平方完成し頂点を求めますが、今年の場合文字の分数式になります。とりあえず、頂点のx座標pだけなので、まだ全部平方完成する必要はありません。最小値がf(4)になるのは、pが4以上の時なのですが、また分数式の不等式なので、不等号の向き逆転に気を付けてください。最小値がf(p)となるのは頂点が定義域に含まれる場合です。a>0に気を付けて不等式を解いてください。最後、最小値が1になる時ですが、aが1以上の場合と1以下の場合に分けて解きます。aが1以上の場合は全部平方完成し、頂点のy座標が1になる時ですが、分数式になり結果2次方程式の解の公式が必要になります。かなり計算がめんどくさいです。まあこれだけ苦労して全部でやっと10点なので、やはり最後の方は後回しにしたい問題でした。

 第2問も3問構成で、[1]は三角比の問題でした。平面四角形の問題で、円も何も絡んでいません。△ABCに着目すれば3辺与えられているので、余弦定理からcosBが分かります。いわゆる相互関係よりsinBも分かります。右ページに行くと、何やら見たことない出題が出てきます。まずはACとABsinBを比較せよというので計算すると、ACの3より大きいことが分かります。つまり、BCを底辺にしたとき、ADがC側に下に傾いているとわかるので、ADとBCが平行になることはありません。つまりAB//CDです。それを利用すると、平行線のいわゆる同側内角の和が180°になることを利用すると、cos(180°-θ)=-cosθより、cos∠BCD=-7/9と分かるので、△BCDで余弦定理よりBDが求められるという流れでした。正弦定理やtanを全く使わないシンプルな出題でしたが、見慣れない問題なので戸惑う受験生がいたと思われます。

 第2問[2][3]はデータの分析で、全く計算はさせず考える力を問う出題でした。模試では計算が主体のようですが(最近はましになった?か分かりませんが)、この課程になってからセンター試験のポリシーは一貫しています。分析力を問いたいということです。とりあえず、箱ひげ図の問題が多いです。[2](1)はヒストグラムと箱ひげ図に関する問題。まあ1つ1つ選択肢を比較してつぶしていくのがいいと思います。結果ヒストグラム関連は間違いで、箱ひげ図が分かれば正解は1・6と分かります。(2)が一番の難問でしょう。XとWの散布図とZ(たぶんBMI?)の箱ひげ図を見て答える問題。正直、微妙な問題です。(b)と(c)が判断しづらいです。(a)は明らかに20と25の線の間に点が集中しているので男子短距離、(d)は15と20の間に点が集中しているので女子長距離です。(b)と(c)はやや男子長距離の方が30に近い方に点があることくらいでしょうか。やはり最大値か最小値に目を向けるしかないでしょう。(c)が男子長距離と分かれば、あとは選択肢を見ていけば4と5が正解と分かります。最後[3]ですが、共分散の公式の問題。でも知らなくて解けます。nxw(上バー)の公式が書いてあるので、この展開式を思い浮かべてください。出てくるのがnxwが2つマイナスで、1つプラスだから、答えは1つマイナスのnxwです。そういえばこんな公式があった気がする・・・位で結構です。この分野は毎年見たことない出題が出てます。そういう初見でも考え抜ける思考力を模試などで鍛えていくとよいでしょう。3年後の新入試でもそれが問われているようですから。

 以下、数学Aからの出題でいずれも20点になります。3題のうち2題を選択すればよいことになります。今年は例年よりも数学Aが易しいようです。

 第3問は確率でした。この現行課程になってから、期待値の代わりに条件つき確率が定番になりました。今年は2つのサイコロだったので考えやすかったのではないでしょうか。(1)、大きいさいころの4の目が出る確率は1/6。和が7になる確率は1/6。9になる確率は1/9。2つのさいころは表で処理するのが安全で確実です。(2)条件つき確率ですが、意味で攻めるか公式で攻めるかですが、分かる人は意味で考えれば明らかに楽です。Cが起こった時のAがおころ条件つき確率は、和が9になったとき、大きいさいころが4の目が出る確率を聞いています。和が9になる4通りの中で大きいさいの目が4の場合は1通りなので1/4です。逆にAが起こった時のCがおころ条件つき確率は、大きいさいの目が4の中で和が9になる確率を聞いています。小さいさいの目が5になる時だから1/6です。(3)AかつBとAかつCの確率に関して不等号を聞いています。独立試行の意味の出題ですが、あまりそれにこだわらずに具体的に考えたほうが無難です。AかつBとは大4小3の時だけなので1/36で等しい。AかつCとは大4小5の時だけでやはり1/36、これはAとCをかけた1/54より大きいです。(4)も確率の乗法でいけます。AでなくCが起こる確率は1/12なので、1/36×1/12=1/432。最後、ABCが1つずつ起こる確率ですが、大概こういうのは前問がヒントになっています。BとCは同時に起こることはないので、先の問以外では1回目AかつB、2回目AでなくCが起きる場合を考えればよく、あと1回目・2回目がその逆の場合なのでこの2つを足してから最後に2倍してください。1/36×5/36=5/1296なので、先の3/1296と足して2倍すれば1/81になります。確率に苦手意識がなければ易しい問題だったでしょう。

 第4問は整数。今年は不定方程式と約数の個数に関する問題でした。(1)、144を素因数分解し、約数の個数をこたえるもので、完全に教科書レベルですが、約数の個数(l+1)(m+1)(n+1)…の公式は今年は完全に必須です。(2)144x=7y+1は7で割って1余る数を聞いています。144という数が特徴的なので、x=1,2…と代入するのが早いです。x=2が答えです。その数を引いて、144(x-2)=7(y-41)という式に変形すれば、x,yの一般解も分かります。これも今では教科書にしっかり載っているので定番でしょう。(3)144の倍数で7で割れば1余る数というのは、完全に(2)のことで、x=7k+2と表せます。約数の個数が18個ですが、これはk=0を代入すればいきなり18個なります。k=0のときx=2で、(2)の左辺が144×2になります。つまり2が答です。約数が30個も理屈で考えるより、k=0,1,2…と代入するのが早いし確実です。k=3のときの23が答えです。理屈で考えたとき、2と3の因数にばかり着目してしまうので結果的にはかえって危険です。なかなか23が素因数に入ることに気付かないですから。

 第5問は平面図形でした。新課程ならではの空間図形が全然出ませんね。それはさておき、今年は角の二等分線とメネラウスの定理にまつわる問題で、図形に苦手意識がなければこれがいちばん易しいでしょう。角の二等分線の性質よりBDが分かります。AB・BEは方べきの定理よりBD^2と等しいので20/9となり、それを利用するとBE=10/9となります。右頁、BE/BDとAB/BCはどちらが大きいか計算しろというので計算してください。前者の方が小さいので、ACを底辺とみるとEDはDの方に下がっていることが分かります。よって、Cの延長側になります。さっきの第2問[1]でも似たこと書いたなあ…。するとメネラウスの定理よりCF/AFがわかり、AC=1を利用すると比よりCF=5/3になります。最後点Dですが、初めに角の二等分線と言っていたので、内心以外考えられないですが(中点出てこないので外心や重心になる可能性ほぼないですし…)、最後BFの長さを求めて確認しなと言っているので一応確認してあげてください。AB:BF=AC:CF(=3:5)となれば角Bの二等分線にもなっていることが分かります。時間あれば確認しましょう。

 今年は数Tがやや難しく数Aが簡単なので(いや、そうでなくても)、まず数Tを解かずにさっと眺め、数Aのどの問題からやろうかを考えると、きっと解きやすかったと思われます。数Tのはじめが面食らいますからね。

数学T専用問題
 今回も数学Tの方の問題も見ていきたいと思います。数学T・Aとの共通問題も多いので、違うところを中心に書いていきます。第1問[1]数と式は(1)までは全く同じです。(2)が追加されています。(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)=-16とのことですが、(1)でn=1のとき(x+1)(6-x)=x(5-x)+6、n=2のとき(x+2)(7-x)=x(5-x)+14と作ってあるはずです。よって、(X+6)(X+14)=-16となります。これを解くとX=-10となり、最後小文字のxを、2次方程式の解の公式を使ってください。これも(1)が解けていれば気づくでしょうが、やはり気づいていたかの方が重要な問題でした。[2]の集合と命題は全く同じでした。

 第2問2次関数は(1)まで、数学T・A第1問[3]と全く同じです。(2)、x軸と異なる2点で交わる条件はD>0です。いわゆるD'(D/4)の方で計算した方がいいです。そして切り取る切片の長さLが2<L<4になる条件ですが、L=2の場合とL=4の場合を方程式で求めて最後に大小関係を考えましょう。2次方程式の解の差なので、解の公式より√D'/aです。これが2になる場合は2次方程式の解の公式で、これが4になる場合は実は2次の項が消えるのでただの1次方程式になります。その間というのが答えになります。センター試験は空欄を埋める形式なので、たぶん答えは分かるはずですが、3/5と5-√13/2のどちらが大きいかは判定が実に微妙で、記述式だと迷うところでしょう。結論3/5の方が小さいです。切り取る切片の長さ問題は定番ですが、不等式になっているところがいやらしい問題でした。

 第3問は三角比で、数学T・Aとは全く異なる問題でした。旧課程の問題のように分厚く、問題も多く完答するのはかなり難しかったと思われます。(1)、3辺が与えられているので余弦定理でcosAを求め、相互関係よりsinAを求めます。(2)、CからABに下した垂線の足をHとするとき、AHとCHを求める問題です。直角三角形の三角比でもいいし、中学知識の△ACHと△BCHで三平方の定理を2回使って連立方程式を解いても良いと思います。次にAH=HDとなる点Dをとると書いてあるので、△AHDが直角二等辺三角形であることよりAH=2√2となり、CD=CH-DHから分かります。△ACDの面積は△ACH-△ADHより、√5-2です。今求めた三角形の面積を利用すると、面積公式よりsin∠CADも分かります。それが分かると正弦定理より、外接円の半径Rも分かります。この辺は流れは定番ですが計算がかなりめんどいです。最後、ABの中点をEとし、ADとBCの交点をFとしたとき、△ACFと△AEFの面積比を聞いています。AE=3なので、この2つの三角形の2辺の長さが同じことに着目すると、2つの三角形の面積比はsinAの比になります。sin∠CADはさっき求め、∠CAFは△AHDが直角二等辺三角形であることより、45°です。よって、この比になるのが答えでした。中学的な図形の慣れが必要で、図形の扱いに慣れない数学T専用問題受験生にはかなりきつかったと思われます。

 第4問データの分析は(2)まで、数学T・A第2問[2]のものと共通です。(3)は、相関係数を求める問題で一般的には大変なのですが、標準偏差と共分散の値が書いてあるので、ただ公式に入れて計算するだけです。(4)、身長Hの2乗の平均を求めるのですが、もともとHの2乗=10000Xなので、Xの平均値を10000倍した27500のFが答えです。最後、分散は(Xの2乗の平均)-(Xの平均の2乗)という公式がはじめに書いてあるので、27500-27456.49をしたAが答えでした。どのデータを利用すればいいか、情報量が多いだけに迷うかもしれません。数学T・Aの方が変な出題だったのは、これが先にあってこれだと計算の情報量が多すぎるといったところから少し文字計算にしようとしたのでしょう。でもこちらの方がセンター試験っぽいですけどね。

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