2020 最後のセンター試験 数学Ⅱ・B 感想と解法

 新型コロナが相変わらず蔓延していますが、みなさまお元気でしょうか。自分は今年はほとんど外出してなく、わずかに出かける通院も必要最小限だけのものにとどめています。新型コロナ第1波は超えたような感じですが、まだ油断はできません。

 さて、そろそろブログを更新しないと広告が必要以上に出てしまうこともあり、更新してみます。わざと?そのためにセンター試験を解くのを遅らせたというのもあります(やる気が出ないのが一番の理由ですが…)。今年は最後のセンター試験ということもあり、どこもあまり解説講義は公式にはやっていない感じです。ユーチューバー位なものです。動画以外では東進のHPのものがおすすめです。

数学Ⅱ・B

 第1問は関数の問題で、[1]三角関数[2]指数対数関数は例年と同じですが、今年はその中で(1)(2)と分かれ、実質4問になっています。

 [1](1)は三角関数の加法定理、合成、不等式の融合問題。まず、誘導通りcos(α+β)の加法定理を使うと、初めの空欄が埋まるはずです。つぎに不等式を移項・整理すると1/2 sinθ+√3/2 cosθ<0とかなり簡単になります。これを指示通り合成公式を利用すれば、2つ目の空欄が埋まります。最後に不等式を解いてください。定義域を確認し、sin<0だからπ~2πとなり、定義域を元に戻せば完成です。不等式自体は教科書のレベル以下だと思います。(2)は三角関数と2次方程式の融合問題。解と係数の関係を使うと、sinx+cosx=7/5と分かり、これを2乗するとsinxcosx=12/25 と分かります。解と係数の関係よりsinxcosx=k/25だから、k=12です。この2次方程式を解くと、x=3/5,4/5で、sinの方が大きいからsinθ=4/5、cosθ=3/5となります。この角度の範囲ですが、√の2や3の近似値を知っていれば早いでしょう。sin45°が0.71位、sin60°が0.86位なので、sinθ=4/5=0.8はこの間に入ります。√の近似値は5くらいまでは語呂合わせで覚えておきましょう。

 [2](1)は指数の形をした乗法公式の問題でしょう。a=t^(1/3),b=t^(-1/3)とおけばa-b=-3と書いてあるだけです。はじめの問いはa^2+b^2を聞いているだけなので、aとbをかけると0乗なので1を利用すると〖(a-b)〗^2+2ab=9+2=11です。次にa+bの値は、〖(a+b)〗^2を計算し、√を付ければOKです(どうせ指数関数は正なので)。最後a^3-b^3は乗法公式でも因数分解の公式でもどちらでも行けるはずです。因数分解の方が引くミスがなくていいかも。(2)は対数不等式と領域の融合問題。見た目複雑ですが焦らずに。logの中身の掛け算はlogの足し算という性質を利用し、√が1/2であることから、2X+Y≦10。2つ目は底の変換公式も利用すればY-3X≦4となります。この2つの直線の下側なので、2つの直線の交点を求めると、Y座標が38/5となり、Yの最大の整数は7となります。それを代入すると、1≦X≦3/2で、3≦x≦3√3です。また出てきました、√3の近似値1.73を利用すると5.1くらいと分かるので、xの最大の整数は5となります。近似値は何年かに一回くらい威力を発揮します。重要ですね。また今年はうまく数Ⅱの教科書第1章2次方程式や第2章図形と方程式をあまり難しくなりすぎないよう混ぜてきていますね。教科書レベルは万遍なくやっておきましょう。

不要不急

 今日、新型コロナウイルス感染拡大に伴い緊急事態宣言が東京などに発表されました。いろいろ言いたいことはあるのですが、キリがないのでやめておきます。まあ自分は一つだけ気になったことを。

 東京都の小池知事は、「不要不急の外出を控えてください」と先月から話しています。さて、「不要不急」とは何なんでしょうか。広辞苑によると、「どうしても必要というわけでもなく、急いでする必要もないこと。」と書いてあります。他の辞書もだいたい同じ意味合いで、数学的には「A(要)でなくかつB(急)でもない」となります。さて、自分は現在6つ通院しているのですが、どうなんでしょう?内科的なものはどう考えても生きるために必要で急で、これは知事も通院はOKといっています。ただ、皮膚科・眼科・歯科・整骨院も定期通院しているのですが、不急だと言われればそれまでです。いってみれば「要不急」といった感じです。「AでなくかつBでもない」の否定は、ド・モルガンの公式により「AまたはB」なので、要不急は否定には入ります。

 ただ、小池知事の発言は「不要不急の外出を控えてください」と言っているだけで、「それ以外は外出してください」とも言ってないわけです。「要急なら外出してもいい」という風には取れますが、決して外出してくださいとは言っていません。では自分のような不急だけの場合はどうすればいいのでしょう。いずれも今日行かなければ生命が絶たれるかといえば、そんなことはありません。でもいつかは行かないと症状が悪化するものばかりです。今回の新型コロナの何が怖いって、いつまで続くか誰にもわからないことです。発生源の中国や医療崩壊の起こしたヨーロッパ諸国では、感染のピークが過ぎたともいわれていますが、再感染した例もあり、それが本当かもわかりません。まして、日本のように医療崩壊させないために頑張って持ちこたえてきた国では、これから感染が広がって、収束がどの国よりも遅いことも考えられます。そうすると、行けるときに行った方がいいとも考えられます。来月必ず収束するとわかっていれば来月まで待とうとは思えるのですが…。

 まあ結局「不要不急に限らず、外出を控える」のが一番なんでしょうが、あとは感染しても自己責任でと言われている気がします。ただ、自宅にいるのが本当に安全なのかは疑わしいんですけどね。それでも、家庭内なら感染が追跡できるってのは確かで…。

2020 最後のセンター試験 数学Ⅰ・A 感想と解法

 明けましておめでとうございます。先日最後のセンター試験が行われました。自分の解説もこれにて終わりにしたいと思っていますが、最後の仕事をしましょうかといったところです。今年はマイペースでのんびり更新していきます。速報性がないのは恒例かもしれませんが、よろしくお願いいたします。

数学Ⅰ・A

 今年は数学はどちらも難化していますね。問題文が長かったり、問われていることが難しい表現だったりと、ちょっと一捻りされている印象です。これも来年以降の大学入学共通テストを意識した問題になっているのかもしれません。

 第1問[1]は1次関数と2次不等式等の問題です。近年1次関数の問題が散見されますね。(1)、1次関数の直線の傾きが負になるのは、xの前の係数が負になればいいので2次不等式を解いてください。(2)、x切片を考える問題です。まじめに方程式で解こうとすると、分数関数になるのでやめた方がいいでしょう。a>0,b>0とはy切片が正の時です。図を書けば傾きが負になればいいと分かるはずです。(1)と同じですが、a>0に直してください。a≦0,b>0のとき、傾きが正になればいいのですが、a≦0より、a<-2です。a=√3のとき、(3-2√3-8)b+√3=0の方程式を解いてください。有理化すればbの値がでます。ウォーミングアップには少し重たい問題でした。[2]は集合と命題です。消去法で解けば割と楽な問題です。題材は4,6,24の倍数なので扱いやすいです。(1)、32はどの集合になるかですが、Pにだけ属しています。共通部分⋂しかないので、Pの否定③④⑤は即消し。残り3つで正しいものを考えれば②と分かります。(2)、PとQつまり4と6の最小公倍数は12で、12は24の倍数ではありません。部分集合でも要素でもありません。当てはまるのは④だけです。(3)、12がどの命題の反例かという問題です。反例、つまり偽の命題とは仮定の条件下で結論が正しくない、そういう例のことです。結論が正しい⓪や①は即消ししましょう。②と③で反例になるのは③となります。②は真の命題ですし。

 第1問[3]は2次関数の問題。(1)、x切片が関わる2次関数の決定問題は珍しいです。x切片がcとc+4ということは、放物線の軸はx=c+2です。なので、2次関数は頂点のx座標とx切片を利用して穴を埋めてください。次に、(3,0),(3,-3)を通る線分と共有点を持つですが、判別式なんかやらないように。x=3のとき、-3≦y≦0になればいいわけです。xに3を代入します。ここから真面目に言うと、連立2次不等式になりますが、y=-3のときとy=0のときのcの値を考えればすぐ空欄は埋まるはずです。(2)、Gが(3,-1)を通る時なので代入するとc^2-2c-2=0の2次方程式になります。cが2~3の時なのでc=1+√3です。このとき、軸はx=3+√3です。頂点のy座標は求めていないので、平方完成する必要があります。(1+√3)(5+√3)-(3+√3)^2を計算し-4となります。y切片は(1+√3)(5+√3)なので、8+6√3です。典型的な問題ではないので、戸惑った受験生も多かったと思われます。

 第2問[1]は図形・三角比の問題。角の二等分線の問題ですが、数Aの知識がなくてもいけます。まずBDの長さですが、cosが分かっているので余弦定理です。次にもう一回余弦定理を使ってcos∠BDCの値を求め、相互関係よりsin∠BDCを求めてください。sin∠BDC=sin(180°-∠ADC)=sin∠ADCなので、それが二つ目の答えです。3つ目、sin∠ACDを相互関係で求め正弦定理を使うと、AC:√14=AD:√7となるので、AC/AD=√2となります。数Aの角の二等分線の性質を使っても結構です。4問目が難しい。ADの長さですが、ACの長さも分かっていないので、AD=x,AC=√2xと置いて方程式を作ってください。△ACDで余弦定理を使うと意外にきれいな2次方程式になります。x=1,2と出るのですが、AD=2とすると△ACDと△BCDが合同になり、CD⊥ABとなります。つまりcosが0になるはずなので、問題の条件に当てはまりません。よってAD=1が答えです。あまり余弦定理で答えを削る状況は少ないだけに、削るのに迷った人も多かったと思われます。ここを乗り越えればあとは楽です。最後△ABCの外接円の半径Rですが、AC=√2と分かったので、△ABCのどこかのcosを求め、相互関係でsinを求め、正弦定理を使ってください。これは教科書定番のやつです。全体的にやることは定番ですが、4問目の削るのができないと高得点狙えないのがつらいですね。

 [2]はデータの分析。例年にも増して問題文が長くてつらいですが実は後半は図を読めとれれば楽で、一番つらいのが図がない(1)です。配点も6点あるので重要でした。次の第3問確率もそうなのですが、1つ1つ選択肢ごとにじっくり検証しないといけないので地味につらいです。(1)、99個のデータで常に成り立つのはどれかという問題です。要は命題が真か偽かということですが、真であるためには証明・根拠が必要で、偽であるためには反例が1つ言えればいい訳です。大抵のデータならどれも成り立ちそうですが、自分は真を見つける方で行きました。③、99個のデータの場合、奇数個なので中央値がはっきりし、第1四分位数はその下49個の中央値です。最大値を除いた98個になっても第1四分位数は下49個の中央値だから〇です。⑤、〇〇|●●●|〇〇のように、第1四分位数と第3四分位数の外側を除くと黒●の範囲なので、この範囲は四分位範囲と等しいのは明らかです。よって③と⑤です。東進の解答では反例が書いてありました。1個だけ99、残り98個が0というデータを考えると、⓪①②④いずれも成り立ちません。ただこの反例を思いつくかは微妙ですね。(2)、これも真偽の問題ですが、3つだし簡単です。(Ⅰ)、四分位範囲は箱の長さで、P10などを見ると1を超えているので偽。(Ⅱ)、中央値もP10とP11を見るとP10の方が大きいので偽。(Ⅲ)、P1の最大値は79.3くらい。P47の最小値は81以上なので真です。(3)、ヒストグラム(棒グラフ)を正しく表した箱ひげ図を選ぶだけの問題。範囲が79.5~82なので、それを箱のひげが正しく表しているのは④か⑤(右端は含まないと書いてあるのに注意)。第1四分位数は下5位と6位の平均なので80~80.5のはずなので④が正解です。(4)、今年も散布図と直線の問題が出題されました。散布図もきちんと見慣れておけというメッセージですね。平均寿命の差を読み取れということですが、一番左とその1つ右の直線の間を見るだけで解けます。この範囲は平均寿命の差が7以上で3つあるのが分かります。3つしかないのが③しかありません。差が6以下なのが9個から判断してもいいかもしれません。直線が差を表しているのに気づけば楽だと思います。後半が楽なのはうれしいですね。

 以下、第3問から第5問は数学Aの選択問題です。各自2問選択してください。

 第3問は確率の問題でした。[2]はいたって普通の問題ですが、[1]があるのは新しいです。たぶん第4問の整数の分量と合わせるために、問題を増量したかったんでしょう。[1]が新傾向の問題で、正しいものを選べという確率の小問でした。⓪は全部裏の場合を除けばいいので31/32>0.95で〇。①は統計的確率・期待値であって、通常の確率とは異なります。②、文字が同じ場合は10通りのうち2通りなので1-2/10=4/5で〇。③は条件付き確率の典型問題。表と裏の確率自体は同じなので除いて考えます。正しく表と言っているのは1/0.9×0.9、裏なのに表と言っているのは1/0.1×0.1なので、81/82となり0.9より大きいので×です。[2]はコインを最大5回投げる問題です。ぶっちゃけ32通り樹形図を書けば安心して確実に解けます。(1)、2回で-2点は裏裏の確率なので1/4。2回で1点は表裏か裏表なので1/2です。(2)、0点になるのは3回目の時だけです。この空欄があるおかげでそれ以外がないことも安心できます。0点になる確率は3回中表1回裏2回になればいいので3/8です。(3)、4点で終了する確率ですが、5回中表3回裏2回の場合なのですが、(2)のように途中で0点になる場合を除かないといけません。3回で表1回裏2回の場合×なので、樹形図をお勧めします。5回中表3回の場合は所詮10通りなので書き出してください。(4)でも使えます。その中で3通り途中で0点になってしまうので7通り。7/32です。(4)、その7通りのうち2回投げて表1回の場合は4通りあります。よって4/7が答えです。[2]は教科書レベルに若干ひっかけ要素が加わっただけの問題だと思います。

 第4問は整数。今年は循環小数と7進法の融合問題で、問題文が多めで重たいです。(1)、循環小数2.36を分数で表すという典型問題。問題文に丁寧に誘導がされているので、その指示通り100x-xを計算してください。99x=234より、x=26/11です。(2)、7進法の循環小数という、ほぼ誰でも初めてやるような問題です。(1)同様、丁寧に誘導されています。というか(1)の作業が生きてきます。49y-yを計算すると循環小数の部分が消えるので7進法の問題に変わります。7進法の2abを丁寧に考えてください。49の位が2、7の位がaなので、98+7a+b、そこから2を引いてください。(ⅰ)、分母が4で分子が奇数ということから可能性を探る問題ですが、49通り全て調べるのは大変なので範囲を絞ってください。0≦a≦6,0≦b≦6なので、0≦7a+b≦48 つまり 96≦96+7a+b≦144 よって2≦y≦3です。この中で分母が4で分子が奇数なのは9と11です。11のとき、7a+b=36ですが、不定方程式と考えず7進法の問題なので7の位aが5、1の位bが1とすぐ分かるはずです。(ⅱ)、y-2、つまり7a+bだけ考えればいい問題です。これが分子が1、分母が2以上の分数になる問題です。例えば分子が24になって1/2になることを考えると、この作業から48の約数を考えてその相方を考えれば良いと分かります。ただ、aとbは異なる整数と書いてあるので、逐一検証しないといけません。7a+b=24のときa=3,b=3で×というふうに48の約数すべてa,bの値を求める必要があります。24,16,8がa,bの値が等しくなって×です。12,6,4,3,2,1の答えが6個となります。いわゆる整数問題の、範囲を絞って場合を考えるという王道な手法に落ち着く問題なのは面白いのですが、重たい印象でした。

 第5問は平面幾何。今年は三角比も出てこなく、見た目もシンプル。先の確率や整数と比べると明らかに簡単です。図をかけない自分には違う意味でつらかったですが…。問題の図を書くと、明らかにチェバ・メネラウスの定理の問題と気づくでしょう。はじめはチェバの定理で、残り二つはメネラウスの定理で解いてください。この答えを利用して、底辺の比が面積比になる性質を利用します。△DCFの面積を2とおくと、CF:FG=2:7より、△DFG=7で△CDG=9。CD:DB=1:7より△BDF=14。△BCD=16となるので、CF:FG=2:7を利用すると△BFG=56。よって△CDG:△BFG=9:56となります。右頁、同一円周上にあるとき、ここは方べきの定理を使えば解けます。AG=xとおくと、AG・GB=AF・ADより、x・2x=8・9となり、x=6。つまりAB=2x=12となります。最後、AE=3√7のとき、AE・ECを指示通り求めると、CE=3√7/7だから、AC=24√7/7。つまりAE・EC=72となり、先程の方べきの定理のAG・GBの72と一致するから、方べきの定理の逆よりCEGBも同一円周上の四角形になることが分かります。円に内接する四角形だから、∠AEG=∠ABC②となります。相似を使わずに有名定理だけで解ける問題でした。

数学Ⅰ専用問題
 こちらは後程公開します。

避難しないわけ

 先頃、台風15号、台風19号、台風21号で被害を受けた方にはお見舞い申し上げます。年々台風・集中豪雨が激しくなっているのが分かります。地球温暖化が原因かもしれません。

 台風15号では、千葉県で甚大な被害が出ました。実は渋谷区でも19号より強い風雨に怯えました。ゴルフ練習場の鉄柱が家に倒れてきて、弁償しないとか意味が分かりません。そんなことしてたら、今後練習場を作る際、どこの住民でも反対運動が起きるでしょう。台風19号では我が渋谷区でも避難勧告が出るほど上陸時に大型で猛烈な台風でした。箱根では1000mmを超える雨が降ったようです。河川の堤防決壊が100か所を超えたという情報もあります。長野県の千曲川が氾濫など広範囲に影響が出ています。そして2日前の台風21号。これは関東のかなり東にそれた台風で、上陸はしてないのですが、また千葉県で大雨の被害が出ました。死者もいるようです。

 台風19号では東京23区でも大雨特別警報が出ました。でも、東京に住んでいる人はほとんど避難してないようです(避難所に行った人は8万人のようですが、都民の0.5%ですね)。渋谷区の場合、正式な避難所ではなく、自主避難所が開放されてはいましたが、自分の場合一番近いところでも1kmは超える場所でした。自分も傘さして歩けないので避難するのはつらいですし、父も要支援で障害者が2人いる状態です。その父も避難はしないといったので、結局家にとどまりました。我が家の近くに川がないというのも理由の一つです。でも、万が一の場合救助するの大変なのもうちらなんですけどね。

 先頃避難所で住所を持たない人を受け入れないという自治体があるのを聞きました。ありえないだろうと思います。避難なのだからだれでも受け入れるべきだろうと思います。自分みたいに臭い人でも受け入れるべきです。だけど、そういう人がいるせいで避難したくない気持ちも分からなくもありません。結局自分の家がみな快適なわけです。避難所生活が辛そうだとニュースを見て知ってしまっているのです。プライバシーもないし、パジャマでくつろぐこともできないし…。自宅の状態も気になり、避難しない人が多いのです。正常性バイアスとか言われていますが、それもあるかもしれませんがそんなことより避難所に単に行きたくない人が多いと思います。

 まず避難情報ですが、確実に見れる媒体を増やすべきです。台風19号では、渋谷区のホームページもダウンしていました。渋谷区のツイッターが辛うじて見れる状況でした。あとはテレビやデータ放送から知ることができました。防災無線は大雨の音とハウリングやらで何言っているのかわかりません。避難所は以前から知ってはいましたが、開設状況が分からないので、そういうのも確実に見れるようにしておいてほしいです。そして可能なら避難所を快適にしてほしいです。無線でいいのでネットがつながる(携帯が使える)状況ならみんな避難するかもしれません。まあ避難する状況が起きないことを祈るばかりですが…。

安楽死のドキュメントを見て

 先程NHKスペシャルで「彼女は安楽死を選んだ」というのをたまたま見ました。安楽死の現場を見るドキュメントはなかなかないので、とても興味深く見させてもらいました。

 小島ミナさんは多系統萎縮症を患い、歩行や会話が困難になり、「やがて人工呼吸器が必要になる」と医師から宣告されます。自殺未遂を繰り返し、「人生の終わりは、意思を伝えられるうちに、自らの意思で決めたい」と、スイスの安楽死団体ライフサークルに登録します。スイスで家族と2日間の猶予をもらい、2人の医師による診断で、安楽死の要件を満たすことを確認し、自分のスイッチにより点滴で安楽死をするというショッキングな内容でした。

 まず日本では薬物投与などの積極的安楽死は認められていません。また、外国では積極的安楽死が認められている国がありますが、自国民以外の外国人を安楽死させられる国はスイスだけのようです。また尊厳死や消極的安楽死といわれる、治療を行わないことは日本でもあるようです。自分は、ぜひ積極的安楽死を日本でも認めてほしいと願っています。家族に迷惑をかけたくないと思っている人は、自分以外にもたくさんいます。

 とはいえ、家族や社会に貢献してきた方に簡単に安楽死させるのは反対です。そういう人には、今までの感謝の恩を忘れずに、その分寿命を全うさせてほしいです。年金も自分が払ってきた分を取り返してほしいです。ただ、自分の場合は家族や社会に対して迷惑かけているだけで何も貢献してないし(これからも貢献できそうにないし)、大した税金も払ってきてないですし、年金はもう障害年金という形で返してもらいました。自分みたいに生きている意味がなく、社会復帰が難しい人には安楽死を認めてほしいです(とはいえ、現状安楽死の要件である肉体的苦痛は自分にはあまりなく、安楽死は自分には認められそうもないのですが…)。

 先週、カリタス小学校の生徒や保護者20名が殺傷される事件が起こりました。この犯人は自分と同じような、中年の引きこもりでした。この事件は拡大自殺ともいわれています。安楽死の制度があればもしかしたら…とも思います。犯人の親戚がカリタスに通っていた妬みの可能性もありますが、ともあれこの事件の被害者は犯人と関係がないようです。被害者の家族の気持ちを考えるといたたまれない気持ちになります。

 自分も年金をもらっていなければこの犯人のような感情をもつことも考えられます。働けなくなった社会を僻む気持ちは自分にもあります。引きこもりを社会に出す活動を政府も考えているようですが、そんなことより働ける環境をください。最低賃金法って要りますか?自分は現状普通の人の半分以下の労働しかできません。賃金も時給500円でもいいので、やりたい仕事を自由にやれるようになれば、自分以外の引きこもりの人も活躍できるかもしれないと思うのですが…。

中途障害者になって3年

 まもなく平成が終わろうとしています。そして障害者になって3年経ちました。人生の途中で障害者になった人を、一般に中途障害者というそうです。乙武さんのように生まれつきの先天性の人以外のことを言うのでしょう。いま、「五体不満足」を読んでいて、感心させられることなど多々あります。障害のことを暗く書かないのはすごいと思いました。自分は思い通りにできなくて、とにかくストレスが溜まっています。今までできていたこと、たとえば自分の場合、ペットボトルを開けるとか爪を切るとかきれいに字を書くなど…挙げるとキリがありませんが、かつての自分のようにできないことにとにかくイライラしています。きっと乙武さんもストレスは相当溜まっているんでしょうが、そういうのをひた隠していろんな活動をされているんだと思います。義足プロジェクトは感心してみていますし、メディアで見かけることがこちらの参考・励みにもなります。

 さて、この4月よりドラマ「パーフェクトワールド」が放送されています。映画の方は見ていませんが、2時間の恋愛主体の映画版より1クールのドラマ版は時間があり、それだけ障害者目線を放送してくれるのは、こちらとしてはありがたいです。まだ2話しかやっていませんし自分はパートナーもいないので、恋愛面に関してはうらやましいとしか見ていませんが、障害者の生活のつらさが少しでもこのドラマで伝わると嬉しいです。障害者は一人で生きていくという覚悟とか、障害者が一般人に迷惑かけているとかは自分も感じていることで、とにかく考えさせてくれるドラマです。まあドラマ・映画は主人公がイケメンなのでそれだけでも自分とだいぶ違うんですけどね。

 日テレの24時間テレビは今も昔もあまり見ていません。障害者に山を登らせるとか、苦行でしかないと感じるからです。一言でいうと「かわいそう」だと思っています。障害者になった今、自分がこの依頼が来たら絶対断ると思います。足の障害は7級とかなり軽いですが、それでも歩くのはつらいんです。テレビ的には面白いんでしょうけど、自分はなんか違うと思ってしまいます。多くの障害者は、日常生活だけでも精いっぱいなんです。自分も食事も入浴もトイレもつらいし…。仕事もできてない人が大多数です。テレビに出ている人はかなり努力をしてきて、たぶんほとんどの人がストイックな生き方なんでしょう。そういう人が見る分には感動するんでしょうけど、自分は今も昔もそうしてきていないので、あまり感動できないんですよね。感動できる人は、きっと自分の努力と重ねられるんでしょう。それ自体を否定しているわけではありません。

 令和の時代が来ようとしています。日本が思いやり溢れる国になってくれればありがたいんですが、少子化で経済も先細りの今、皆さんがどんどん余裕なくなってきていて、たぶん難しいんでしょうね。自分も障害年金打ち切られるかもしれませんし…。グローバル化で世界が一つとなればなるほど、先進国は発展途上国にのまれていく気がしてきて、先が恐ろしいです。

2019 センター試験 数学Ⅱ・B 感想と解法速報

 引き続き数学Ⅱ・Bの方も見ていきたいと思います。まあ昨年よりは早く記事書けたと思います。さて恒例ですが、河合塾のHPでは解説授業を期間限定で公開しています。今年もリンク張っておくので、見たい人はご覧ください。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/19/lecture.html
 なお、東進や城南予備校のHPでも解説があったので、リンク張っておきます。
・東進→https://www.toshin.com/center/
・城南→https://www.johnan.jp/sokuhou/(←ワンポイント解説の所)

数学Ⅱ・B
 第1問[1]は三角関数でした。(3)が意外な形で整数が絡みますが、問題は典型的な部類だと思います。(1)は三角関数の値を計算する問題。ただ、値を代入して計算してください。(2)、2倍角の公式で変形する問題。まあ普通半角の公式と呼ばれるやつです。sinの方も半角公式使えば変形できます。(3)、三角関数の合成をしなさいと言っています。角が2θで統一されているので合成してください。ここまで基礎が分かっているかどうかを確認する問題です。誘導なくてもできたい問題です。次、最大の整数値mを求める問題ですが、sinの値は1~-1なので、合成した結果最大値は2√2+1となります。√2は1.4くらいなので3.8くらい。つまり最大の整数値は3となります。そのf(θ)=3を解く問題です。sin(2θ+π/4)=1/√2となるので、2θ+π/4=π/4と3π/4です。θ=π/4,π/2となります。定義域の確認も今回は不要です。三角関数に苦手意識がない限り取りたい問題です。

 [2]は指数・対数方程式の問題です。見た目に圧倒されますが、誘導に乗ればそんなに難しくはありません。まず真数条件より、x>-2,y>-3です。底の変換公式より、log(2)4が分母に来ます。log(2)4は底が2、真数が4です。以下同様。②から式変形、これがそこそこ大変です。logの引き算より、log(2)x+2/y+3=-1。logの定義より、x+2/y+3=1/2となり、この分母を払うとy=2x+1となります。右頁、tで表すのも指数計算が必要になります。2x+1乗は、掛け算と累乗になおしていくと、tの2次方程式になります。2次方程式解く前に定義域の確認せよと言っています。t=(1/3)^xは減少関数なのでx>-2より、t<9。指数関数なのでt>0です。これより、tの2次方程式解くとt=2となります。最後x,yの値ですが、t=(1/3)^xより、2=3の-x乗です。logの定義より-x=log(3)2だから、x=log(3)1/2となります。y=2x+1なのですが、これも意外と大変です。まず2倍は、真数の2乗になおし、+1はlog(3)3に直して掛け算すると、空欄に当てはまる形になります。真数条件を指数方程式の条件に使うところなど巧みな出題だと思いました。

 第2問は微分・積分の問題でした。後半がやや難しいです。(1)、3次関数が極値をとる条件は微分係数が0になることです。f'(-1)=0,f(-1)=2の連立方程式を解くと、p,qの値が分かります。その3次関数の導関数より、もう一つの極値も分かります。(2)、別の2次関数Dが出てきます。接線ℓの方程式は2次関数を微分して傾きを求め、式を整理してください。ℓとx軸の交点のx座標はy=0より、x=a/2と分かります。Dとx軸とx=aで囲まれた面積はただの積分ですが、x軸より下側なのに気を付けてください。Dとx軸とℓで囲まれた面積Sは積分せず、今求めた面積からℓとx軸とx=aで囲まれた三角形の面積を引いてください。(3)、(2)の点Aが(1)のC上にありℓが共通接線になる問題です。かなり図は複雑ですが、誘導に乗りましょう。点AがC上にあるので、f(a)=a^3-3a=-ka^2です。kについて解いてください。ℓとCの接点のx座標をbとし、ℓをbを用いてとあります。一回aは置いといてbで立式してください。3次関数よりf' (b)=3b^2-3を利用し3次関数の接線の方程式を公式などより作ってください。この②の右辺をg(x)とし、f(x)-g(x)を計算・因数分解しなさいと言っています。3次関数f(x)から②を引くと3次方程式ができます。これは接点がbなので、(x-b)で2回割り切れるはずです。割ってみると(x+2b)という因数が答えに当てはまります。この因数は点Aを表すので、a+2b=0、つまりa=-2bとなり、傾きを比較すると-2a(3/a-a)=3b^2-3となるので、a=-2bを代入してください。ここで初めてaとbをつなげます。するとa^2=12/5となり、Sに代入するとSが求まります。自分もそうだったんですが、途中でaとbをつなげるとドツボにはまり混乱します。空欄の形を見ながら誘導に乗ってやっていきましょう。近年は共通接線の問題が多いですね。なお、積分については簡単なことが多いようです。まあ積分計算はミスすればすべて終わりで、10年以上前のような積分計算中心の出題はもう出にくいかもしれません。

  以下、第3問から第5問は数学Bの選択問題です。各自2問選択してください。

 第3問は数列でした。等比・階差数列・漸化式というオーソドックスな内容ですが複雑です。(1)、等比数列の和であることに気を付けましょう。3+12=15で、階差数列より-1+3=2です。言葉・問題の意味を理解したかを見る問題でした。(2)、Snの一般項は、等比数列の和の公式で出ます。TnはこのSnを使い、階差数列の公式を利用しΣ計算して空欄の形に合うよう変形してください。(3)、anとbnが出てきて一気に複雑になります。初項b1はa1+2T1を利用すれば-5となります。次から山場です。まずTnの漸化式を作る問題ですが、(2)の答えより、Tn+1を作ればTnの4倍が絡んでいることが予想されます。4Tnを作って引けば空欄に当てはまる形ができました。次にbnの漸化式を作る問題ですが、これがかなり複雑です。まずbn+1を作り、そこにanの漸化式とさっき作ったTnの漸化式を代入し、かんばってbnができるまで変形してください。これはかなりの分数計算になります。そうすればいわゆる特性方程式型の漸化式なので、これを解きます。{bn+2}は初項-3、公比4の等比数列なので一般項が分かり、anの一般項は、nbn-2Tnに代入し通分したりして変形すると最後の空欄が分かります。少し誘導が強引で、Tnやbnの漸化式を作るのが大変です。まあそれでも誘導がないとたぶん解けないので仕方なくやるしかありません。

 第4問は久々の空間ベクトルでした。問題数は多いですが、割と典型的な問題ではないでしょうか。(1)、∠AOCは内積0より90°。△AOCは直角三角形の底辺と高さが1と√5より求められます。(2)、BAとBCの内積はBA=a-bと小文字に直して計算します。BAやBCの大きさも同様にして2乗して計算。この3つが分かると、内積の定義よりcosが分かり角度が120°と分かります。AD//BCより図を描くと、これは等脚台形となり、∠BACや∠ADCが60°となります。これは正三角形3つに分割できるので、AD=2BCとなります。ODはAD-AOなので、今求めたベクトルを代入すると計算でき、面積はAB=√2だから正三角形3つ分で分かると思います。(3)、BH⊥aより内積0です。BH⊥cも同様で、BH=OH-OB=sa+tc-bとすると、内積計算よりsとtの方程式ができます。これよりsとtの値が分かります。BHの2乗はさっきのを頑張って展開計算すると、BHの大きさも分かります。それが分かると体積も底面積・高さが求まっているのですぐ分かるはずです。(4)、OABCDの体積ですが、底面ABCDと考えると△ABC+△DACで、高さは共通です。△ABCの三角形1つ分に2つ分加わるので、3Vとなります。最後高さは(3)の答えと、(2)で求めた底面積ABCDを使うと高さが求まります。問題量が多いので、図形でつまずくか計算でつまずくかで止まってしまうと時間12分では終わらない可能性があります。でも全体的には昔からセンター試験でよく出題された傾向の問題だと思います。

 新課程では数学Bからベクトルがなくなり、統計が必修化されます。今年は簡単と噂なので、今後のために第5問の解説を試しに書いてみます。あまり知識ない上で書いてみるので、何か間違いがあったらご指摘いただけると幸いです。第5問統計分布です。今年はあまり確率実験的な問はありません。(1)、V(x)=E(x^2 )-{E(x)}^2の公式より、E(x^2 )=49+25=74です。W=1000Xとしたとき、期待値は1000倍の-7000、分散は1000^2倍で25000000になります。あとは空欄に当てはまるように有効数字表示してください。(2)、X≧0なら、X+7/5≧7/5、つまり1.4以上です。これが標準正規分布に従うと書いてくれています。0~1.4の確率が正規分布表より0.4192なので、右半分の確率0.5から0.4192を引いた0.08が、Zが1.4以上になる確率です。期待値は、E=npの公式より50×0.08=4.0、標準偏差は、σ=√np(1-p)の公式より、√4×0.92=√0.368で0.37です。(3)、σ(Yバー)は、σ/√100=0.6です。Z=(Yバー-m)/0.6は標準正規分布に従うとまた書いてくれています。|Z|≦1.64となる確率は正規分布表より、0.4495×2=0.899、つまり0.90です。最後mの範囲ですが、|Z|≦1.64より-1.64≦Z≦1.64で、Yバー=-10.2だから、あとはこの1次不等式を丁寧に解いてください。0.6倍し10.2を足し、不等式を-1倍すれば答えが②と分かるはずです。昨年は確率の計算もあったので難しかったんですが、今年は統計の基本公式と正規分布表の使い方を知っているだけで解けてしまう問題でした。2年前みたいに確率密度関数が出題されることもあるので、積分計算絡むこともありその場合要注意の分野です。

 ということで、今年は第5問選んでいれば楽に解けた年でしたが、たぶん現在の受験生は選ぶ人は少ないでしょう。いずれにしても第2問や第3問がやや難題だと思うので、それ以外で点数とれたかも重要な年だったと思います。今後の受験生は参考に頑張ってください。

数学Ⅱ専用問題

 第1問、第2問は数学Ⅱ・Bと共通です。

 第3問は図形と方程式でした。問題は典型的で、特にひねりもなく易しい問題です。(1)、2点A,Bを通る直線の方程式は公式でも連立方程式でも構いません。中2レベルです。(2)、内分点・外分点を求める問題も公式一発ですし、図がイメージできる人はたぶん直観でも解けると思います。(3)、点Pの軌跡を求める問題ですが、いわゆるアポロニウスの円です。ただ、その知識があっても不要です。誘導がなされていて、式変形の途中まで問われているので、ただ2点間の距離の公式より地道にやっていきます。2:1より、2乗すると4倍になります。3で割ると求める途中式になり、平方完成すると(x-4)^2+(y-3)^2=20となり、中心が(4,3),半径が2√5になります。(4)、(3)の円とy軸との交点は、x=0に代入してy^2-6y+5=0を解くとy=1,5となります。点(0,1)における円の接線の方程式は、公式でもいいですし、接点と中心を結ぶ線の傾き1/2に垂直を利用して求まります。点(0,5)における接線も同様に解けます。最後、y軸とl1,l2で囲まれた面積は、点(0.1)と点(0.5)の間の底辺の長さが4、2つの交点のx座標は-1なので高さ1の三角形なので面積は2です。図形と方程式ではいきなり軌跡を聞かれた年もあったので、絶対に軌跡はできるようにしておきましょう。領域もできるように。

 第4問は高次方程式でした。(3)だけ難しいと感じるかもしれませんが、それ以外は見た目以上に簡単です。まず因数定理よりx+1とx-3を因数に持ちます。(1)、異なる2つの虚数解をもつとき、解と係数よりと書いてあります。公式より、α+β=-a,αβ=bとなります。Q(x)の判別式というので、これも公式よりD=a^2-4b<0です。教科書レベルです。(2)、虚数解をもたない場合と書いてあります。要するに重解ということです。x=-1で3重解のとき、x^2+2x+1で①、x=3で3重解のとき、x^2-6x+9で②、x=-1で2重解かつx=3で2重解のとき、x^2-2x+3で⑤です。たくさん解答欄ある割には簡単です。(3)、P(x)がすべての実数xで0以上となる場合ですが、x^2-2x+3は-1