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2017 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

2017/01/19 03:13
 さて、引き続き数学Aの方を書いていきたいと思います。ただ、最近は解説速報早いですね。予備校の東進や城南予備校ではすでに解説が掲載されています。たぶん近々3大予備校でも解説講義など配信するでしょう。障害の自分にはとても追い付けません。まあこちらはいつもの感じでマイペースに感想含め書いていきたいと思います。

数学U・B
 全体的な感想は、見た目難しい。いろんな分野が融合されているのが今年の特徴だと思います。融合問題は両方の知識がないと解けない訳で、これは最近の傾向でもあります。とにかく受験生の皆さんは、知識に穴が無いよう、苦手な分野も最低限の知識・技術は固めておきましょう。

 第1問[1]は三角関数。まず、3つ条件が書いてあります。問題を見た瞬間考えておきたいのは、Aよりどちらかがマイナスということ。α<βより、αが鋭角、βが鈍角というイメージは持っておきたいです。(1)、2倍角の公式と誘導されているので、cos2α=2cos^2α-1の公式を使えば出ます。次に、Aの式を2乗してください。これで和と積が分かりました。そこで、2次方程式の解の性質を使います。x^2-(和)x+(積)=0で計算すると、たすきがけより4/5と1/3と出ます。Bより、cos^2αが4/5、cos^2β=1/3なので、平方根をとって最後の解を求められます。はじめの条件に早めに気づいておくのと、さりげなく2次方程式を使いこなせるかが重要でした。

 第1問[2]は対数関数。見た目はボリュームありますが、内容はそれほどでもないです。無理やり内分の公式・常用対数の計算を絡めたなあという印象です。まず真数条件により、p>0,q>0です。そして内分の公式を使うだけで次の空欄は埋まります。それがCと一致するというので、連立方程式を作ります。全く図のイメージ必要ありません。ただ誘導通り計算します。Dの式変形ですが、1+1/3logp=logqより、log2+1/3logp=logqで、2p^1/3=q、両辺を2で割り3乗するとEができます。Cより、p=3qなので3次方程式を解くと、q=2√6となります。pはその3倍です。最後、このqの近似値を求めろといいますが、与えられているのが常用対数で、ここまで底は2だったので変換する必要があります。log2√6=log2+1/2(log2+log3)と直してから、最後にlog3の値を求めるときに底の変換公式を使ってください。正直この筆算はしんどいです。あまりセンター数Uで、このような小数計算をするのは記憶になく、珍しいと思います。

 第2問は微分積分。接線と微分積分の典型的問題で、しっかり誘導に乗れば解ける問題です。昔と違うのは、微分の出題が多くなっている最近の傾向をまさに踏襲しています。(1)、まず接点tの接線の方程式を作ります。公式だけです。これがPを通るときなので、Pの座標を代入します。tの2次方程式をたすき掛けなどで解いてください。t=2a-1,1となります。これが等しくなるt=1以外は接線は2つあり、t=2a-1とt=1を代入してください。(2)、y切片r>0となるときは、2次不等式を解けばいいです。数Tですね。このとき、△OPRの面積は、底辺がy切片、高さがPのx座標aの三角形なので、求まります。この3次関数Sの増減表を作ります。微分すると、S'=0となるのは0と2/3で、0<a<1より、2/3で極大かつ最大となります。(3)、放物線と接線とx=0,x=aで囲まれた面積ですが、放物線の方が接線より上になるので、定積分計算してください。最近は積分計算は一昔前みたいに重たくなくていいですね。最後、このTの増減を調べる問題が少し悩みます。T'=0を解の公式で解くとa=3±√2/7で、2/3より大きいか小さいか判定しないといけません。通分して判定するのが確実でしょう。結局これはどちらも2/3より小さいので、T'>0となり増加するとなります。最後の問題は昔の数Tでありがちの小数大小比較でした。

 第3問は数列。まあネタ切れ感もありますが、ついに数Uの対数も最後に絡める出題となりました。まあ数Bだけの専用問題ではないのでいいのかもしれません。(1)は楽勝。初項1、公比2だから、3つの数は1,2,4なので、その積は8、和は7です。(2)、初項x、公比rなので@より、x*xr*xr^2=a^3 x,r,aは実数なので、両辺の3乗根を取り、xr=aです。AとBより、a,b,rの関係式を作れと言っています。つまり、xを消去しないといけないので、x=a/rを代入し、r倍すればrの2次式Cが完成します。Cを満たす実数rが存在するので、D≧0を解いてください。Dが作れます。(3)a=64、b=336のとき、Cから2次方程式が作れ、両辺を16で割るとたすき掛けできそうと分かります。r>1より、r=4、x=16です。ここでtn、対数が登場します。snが16*4^n-1=4^n+1で、tnはlogの底と真数が同じことを利用して変形できます。最後その和Unを求めよとあります。いわゆる等差×等比型の数列の和なので、誘導通りUn-4Unから求められますが、この計算が実に面倒です。具体的に書いて引き算していくと、初項と末項以外は係数1、公比4の等比数列の和になります。4^n+2でくくると、マークにあう形になります。最後はかなり面倒なので、実際受験生だったら後回しにすべきでしょう。それ以外は見た目難しいですが、割と点を取りやすい問題だったと思います。


 第4問は平面ベクトルでした。予備校の分析では割と簡単となっていますが、自分はやや難しく感じました。去年の方が解きやすかったような…。(1)正六角形の座標は、Bが第1象限に気をつけて図を書けば分かると思います。(2)交点の位置ベクトルの問題で、誘導されているのでまだ簡単です。AMはBDの中点Mの座標からAの座標を引けば求められ、DCはCの座標を求め、Dの座標を引いてください。指示通り、ベクトルの成分計算すると連立方程式になり、それを解くとsとtが求まり、ONが分かります。問題は(3)、改めて図を書いてください。垂線の交点を求める問題です。これがあまり誘導されてなく、不安でした。EPの成分を求めろとあるので、Eの座標を求め、P(1,a)から引き算すればよいです。これだけからHの座標を求めるとあります。Hのy座標はaなので、x座標を文字で置き、EP⊥CH条件より内積が0になることを利用してください。センター試験のベクトルは必ず内積出題されますからね。最後、OPとOHのなす角θで、cosθ=12/13からaを求めよとあるので、内積の定義式を2通り使うのですが、これはためらう問題です。√の中が4次式になるのですが、√が結果的にはとれます。数Vやった人だとこの因数分解はやったことある人多いはずです。a=±5/12となります。(3)が計算重たすぎるなあと感じました。

数学U専用問題

 第1問と第2問は数学U・Bと共通問題なので省略します。

 第3問は図形と方程式の出題でした。見た目からも過去一番易しい問題だったと思います。(1)直線ABの方程式は公式を使うだけです。(2)2点AB間の距離も、公式だけでしょう。(3)、2点ABを直径とする円Cの方程式ですが、中点(4,6)が中心、(2)より半径5の円なので、あとは円の公式に入れてください。また、Aにおける円の接線ですが、(1)と垂直なので傾きの積が-1を利用すれば出るでしょう。変に接線の公式は使わない方が無難です。(4)から少し難しくなります。△ABPの面積が20となる点Pの軌跡ですが、図をイメージしてください。(2)より底辺が10なので高さが4になればいい、つまり点Pと直線ABの距離が4になればよいので、点と直線の距離の公式を使うと、絶対値の方程式を解いて2通り答が出ます。(5)今求めたAと@の交点は連立方程式を解いてください。Aと円Cの交点も連立方程式、つまりAを代入すると2次方程式になります。たすき掛けで解くと交点が出ます。最後(6)、△ABPの面積が20で、△ABPが直角三角形となるのは、ここまでの図をよく見ましょう。まず点Aが直角となるのは2通り、点Bが直角となるのも2通りあります。点Pが直角となる場合はきちんと検証が必要です。点Pが直角となるときは、ABが直径となる円C上です。つまり、(4)と円Cの交点です。AとCの交点は、(5)でやったように2通りあります。問題は円とy=3/4x-2が交わるかです。連立して2次式の判別式をやればD>0になります。よってこれも2点で交わると分かり計8個となります。自分は計算しましたが、対称性が利用できるかは不明です。いずれにしても、文字があまり絡んでこなく、昨年よりも簡単だったと思われます。

 第4問は複素数と2項定理・相加相乗平均の問題でした。確かに二項定理は今まであまり出題されてなく、出したかったというのだけは伝わってきますが、ストーリー性が全く分からないめんどくさいだけの問題です。(1)と(2)にも関連は全くありません。(1)は4次式の問題。P(x)がまわりくどく書いていますが、要はP(x)=(x^2-2x+3)S(x)です。この式にx=1,2を代入して式を簡単にすればS(1),S(2)が出ます。これをS(x)の式に代入すればmとnの連立方程式になり、S(x)=0は解の公式より解くことができます。整式の除法と解の公式が使えるかという問題です。(2)はかなりめんどいですし、見た目からして煩雑そうです。まずQ(α)を計算せよと言っています。計算のスペースもつらいでしょうが、2次式にこの複素数αを代入して計算してください。実部と虚部に分けるとマーク欄が埋まります。Q(x)=0がαを解にもつことから、先ほどの実部と虚部が0になります。虚部からk=-2cと求まり、それを実部に代入するとlが分かります。一回ここまでの話はおいといてください。さて、二項定理より、α^4を計算しろと言っています。一回単純に4乗を計算してください。パスカルの三角形を知っていれば少しは楽でしょう。また実部虚部分けます。その実部の最小値を二項定理で求めろとあります。c^4+1/c^4≧2√1で最小値2なので、実部の最小値は6を引いて-4です。等号成立条件はc^4=1/c^4、c>0よりc=1です。そのとき、kとlは単純にc=1を代入すれば求められます。数学Uの受験層を考えても、この問題は計算がつらいですし、何もストーリー性がないので実につまらない問題でした。

 ただ全体通してとにかく伝わってくるのは、教科書からまんべんなく出題しようという方針は伝わってきます。センター試験もあと3年という噂ですし、そろそろ根本から裏切る、二項定理とかが数学U・Bの方に出題されてもおかしくありません。もちろん三角関数・指数関数が第1問の可能性は高いでしょうが、数学Uどこからどうきても対応できるよう、傾向に惑わされず来年の受験生は対策しておいてください。
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2017 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

2017/01/15 23:27
 明けましておめでとうございます。さて、昨日・今日とセンター試験が行われました。極寒の中、受験生の皆さんお疲れ様でした。自分が教師に復帰できるか分かりませんが、2年前までこう感想を書いてきたので、半分趣味としてまた書いてみたいと思いブログにしました。まだ解き終わってないのですが、追々更新していきます。ぱっと見の感想は、数Tは割と簡単。他は見た目から難しいといった感想です。何せ鉛筆が持てないので、PC上で解いているので更新が遅れると思いますが、よろしくお願いします。

数学T・A

 第1問[1]は数と式。いわゆる対称式の計算問題です。2乗・3乗の対称式の公式で解けます。4乗はご自由にということでしょうが、2乗の式を2乗した対称式を使えばいいはずです。単純に2乗しないように。[2]は命題。見た目簡単そうですが、中には熟考を要するものも。qはpであるための、といったらqならばpが成り立つか考えます。x^2=1だからといって、x=1とは決めつけられません。逆が成り立つので、必要条件。2つめはあきらかに無関係。3つめは、pまたはqでないというのは、つまりx=-1でないということです。そうすれば無関係。4つめは、3つ目をしっかり考えておくとド・モルガンより、x=-1なので、十分条件と分かります。後半は真偽。Aはx=1なので、x>0で真。Bはx=+-1なので、x>0とは言えない偽。Cはド・モルガンより、pならばqとなるので、前半の1つ目の逆で真となります。

 [3]は2次関数。昨年はこういうのがなかったので、久しぶりの正統派出題です。ちょっと平方完成がめんどいです。正確にやると頂点の座標が分かります。その頂点のx座標の最小値は平方完成してください。分数でなおめんどいです。頂点のy座標は4次関数ですが、誘導されています。おきかえて解くのですが、平方完成が因数分解形で、t>0だから答えは16です。平方完成というより、t>0の方が重要な問題でした。各10点です。2次関数の配点が以前からずいぶん減りましたね。

 第2問は2問構成で、[1]が三角比、[2]がデータの分析で、15点ずつです。この配点は新課程以降変化なしです。[1]は、三角比で内容は簡単です。(1)まずは余弦定理でACを求めます。若干計算が重たいです。次に正弦定理で外接円の半径Rを求めます。3問目、sinAを求めるとありますが、Rが求まっているので、正弦定理をまた使えばよいです。余弦定理で相互関係とやったら大変です。(2)、△ABDの面積が与えられていて、sinAが求まっているので面積の公式より、AB・ADが分かり、それよりADが求まります。ADだけなら、面積比を使うこともできるでしょう。

 [2]はデータの分析。もう3年目になりますが一貫して、計算でなく考えて分析させたいという意図が伝わってきます。(1)散布図を読み取る問題。特に難しくないので、1つ1つ選択肢と照らし合わせてください。146が正解です。(2)は今年ももう1つの1次関数が出てきて、XがDの1.8倍から計算されます。昨年の過去問をやった人は対策出来ていたかもしれません。分散は偏差の2乗の平均なので、1.8の2乗=3.24倍です。共分散は、分散と違って2つの偏差の積なので、片方だけ1.8倍されます。相関係数は、共分散が1.8倍ですが、標準偏差も1.8倍なので、変わりません、1倍です。(3)はヒストグラムと箱ひげ図の問題。一瞬これまでのを使うのかとひやひやしましたが、無関係。X+Yの最小値が108ということより、1回目がAとaの図と分かります。もうヒストグラムは使いません。何のためだったのでしょう?最後、箱ひげ図より四分位範囲を求めると、箱の長さが14と15ぐらいなので、1回目の方が小さい。中央値は1回目の方が大きいので、@が正解。X+Yの最大値、最小値はともに1回目の方が大きいです。(2)が、計算の経験で知っているか否かで分かれる問題でした。全体的にはページ多い分面倒なだけで、簡単な問題でした。

 以下、数学Aからの出題でいずれも20点になります。3題のうち2題を選択すればよいことになります。

 第3問は確率でした。扱う題材は当たり2本、はずれ2本のくじというシンプルなもので、これだけ難しくさせられるのは天晴です。(1)AB少なくとも一方が当たりは、2人ともはずれの余事象だから、1-1/6=5/6です。(2)3人で2本の当たりを引く事象を、排反な3つの和事象で答えさせるもの。これはまだ簡単で、誰か1人がはずれるわけだから、135の和事象とわかります。その確率は3つとも1/6だから、3倍して1/2。(3)E1が起こったときEがおこる条件付き確率は、意味を考えるまでもなく公式だけです。(4)これが1番難しい。BCの少なくとも一方が当たる事象を3つの排反な事象の和事象で選べという。結論:Aがはずれれば、絶対にどちらかが当たるわけでまずそれを選び、あと(Aがあたっても)Bだけはずれの場合とCだけはずれの場合を足せば条件満たせます。これは難問ですが、排反事象と言っているのでBがはずれとCがはずれは選べなさそうです。消去法でもいいし、自分は8通りの表で解きました。くじはもとに戻さない場合でも当たる確率は変わらないと知っていれば、E2,E3の確率はすべてE1と同じで5/6です。(5)条件付き確率も、分子がEで、分母がすべて5/6なので、全部同じと分かります。

 第4問は整数。本質的理解を問う良問で、最後の問題以外は割と平易です。数Aの中では途中点も一番とりやすいでしょう。(1)3桁の整数37aが4で割り切れるのは、下2桁が4の倍数になればよいので、72、76です。(2)4桁の整数7b5cが4でも9でも割り切れるのは、まず4の倍数がc=2,c=6の場合で、c=2のときb=4、c=6のときb=0,9なので3組です。このうち最小なのは7056、最大なのは7956です。7b5c=(6*n)^2となる場合は、要は36n^2なので、上の3組。その中で実際に36で割ると平方数になるのは、7056=36*196です。実際に割るのが一番早いでしょう。(3)1188の正の約数の個数は、因数分解して指数+1の積です。3*4*2=24個です。そのうち2の倍数は、2の因数のとり方が2^1、2^2の2通りになるので2*4*2=16個です。4の倍数は、2の因数のとり方が2^2だけになるので1*4*2=8個です。これは教科書に良く出てくる公式ですが、その意味を理解している必要がありました。そして最後が難問。1188の正の約数の積を2進法で表すなんてほとんど誰も考えたことなかったでしょうが、2進法に直すとき、よく割り算のひっ算の逆みたいなことやりますよね。つまり、2で何回割れるかと聞いているのです。そうすると、2の倍数が16個、4の倍数が8個と求まっているので、16+8=24個となります。これはかなり名作良問でしょう。

 第5問は平面図形。今年は自分で図を描く必要がありますが、気付けばそんなに難しくありませんし、何もひねりのない問題です。(1)、図を描くと円と三角形の問題と分かります。BC・CEはこの形ときたら方べきの定理です。CD・CAと等しいので、28です。BC=8より、CE=7/2です。次は、延長線を書くとメネラウスの定理と分かります。BE:EC=9:7なので、これより、BF:AF=12:7です。ABの長さの比が5に相当し、実際の長さが3だから、3*7/5=21/5となります。(2)ほとんど数Tの問題です。Bの角度を聞いているので、余弦定理より、B=60°です。内接円の半径rは、三角形の面積を数Tの公式で求め、S=1/2r(a+b+c)で求めればよいでしょう。最後、BIの長さはやや難しいですが、よく考えれば内心は角の二等分線上にあるはずなので、60°の半分30°。BCと内接円の接点をHとすると、△BIHは1:2:√3の直角三角形です。r=IHなので、BIはその2倍になります。気付けば簡単でした。

 今年は確率が難しく、整数と図形が最後の問題以外割と簡単な年でした。図形は人によりますが、やはり整数問題を勉強しておけば学習量に比例しやすいので無難だと思います。

数学T専用問題

 こちらの問題は、数学T・Aの第1・2問と一部共通していて、さらに発展させています。でも、数学Aがないことを考えると、だいぶ時間的にも楽でしょう。もちろん、平均点は受験層の違いで低いですけど…。上に書いてない部分について書いていきます。

 第1問[1]は数学T・A第1問[1]とほぼ同じ対称式の問題です。2ページ目が追加されています。2ページ目も同様に対称式の公式を使ってください。問題の最後は、これが負のときxを求める問題ですが、これは2次方程式の解の公式を使ってください。√が絡む2次方程式は解の公式を使うしかないでしょう。x>0なので、正の方の平方根が正解でした。第1問[2]は命題で、数学T・A第1問[2]と配点も内容も全く同じなので省略します。

 第2問は2次関数で、新作として[1]が追加されていて、[2]は最後の問題だけが追加されています。[1]はf(x)が2乗引く2乗の形で表されています。つまり、この問題は2次関数と見せかけた因数分解の問題です。いわゆる(a+b)(a-b)の公式で計算すると空欄が埋まります。これが原点を通る時を聞いているので、x=0のとき0になればいいので、aの方程式をたすき掛けの因数分解などで解いてください。[1]はほぼ2次関数の知識は使いませんでした。[2]は数学T・Aの第1問[3]と途中まで同じです。平方完成し、その頂点の最小値を求めます。その際、平方完成というか因数分解してると思うので、ヌネが埋まるはずです。最後、頂点のy座標が10000以下になる場合を聞いています。(3t+4)を2乗して10000以下なので、-100≦3t+4≦100です。でもt>0なので、3t+4≦100だけ考えればいいです。t≦32なので、a^2≦32.です。このaの2次不等式を解いてください。4√2となります。本年2次不等式の出題はここだけでした。

 第3問は三角比で、数学T・A第2問[1]と前半は同じです。(1)(2)については上を参考にしてください。追加された(3)ですが、数学T専用問題なのに、数学Aや数学Uをやっている人は有利な出題でした。CからABに垂線CEを下ろす問題で、そのCEの長さを聞いています。1:2:√3の直角三角形なので、CEはBCの√3/2倍です。cos∠ACEは今求めたCEをACの長さ√6で割ってください。さて、次にcos∠ACBを聞いています。3辺が出ているので余弦定理を使って下さい。しかしこの有理化計算が実に重たいです。苦労すると何とかcos∠ACEと同じ値が出てきます。さてこの値ですが、数学Uをやったことある人なら見覚えあるでしょう。sin75°つまりcos15°の値です。すぐ∠ACE=15°と分かります。もちろん知らなくてもできますが、その場合は図で解いてください。EとBが同じ位置なわけないので、ACに対して逆側と分かり、同じ角度ということで、ACが角Cの二等分線だと分かり、角Cの半分15°と分かります。最後、tan15°の値ですが、これも数U知っている人なら加法定理で出した方が早いでしょう。自分は数Aの角の二等分線の性質を使いました。AB:AE=2:√3を使ってAEの長さを出し、tan15°=AE/CEで出しました。数Tの知識だけなら、1+tan^2C=1/cos^2Cの公式を使うんでしょうか?いずれにしても第3問は内容はそれほど難しくはないのですがホントにこの計算やるの?と思う有理化計算が多すぎて、数学T受験者にはきつかったと思われます。

 第4問はデータの分析で、数学T・A第2問[2]と(1)〜(3)まで同じです。(4)が追加されています。その(4)ですが、追加する必要あったのか?と言いたくなる問題です。XとX'が出てきます。ハンディか何か分かりませんが、中と低にいくらか加点する箱ひげ図の問題です。結果的にはこれも(3)までは使う必要ありません。加点すれば箱ひげ図もその分平行移動するだけです。0は、中央値が中の方が低いので×。@は確かにX'は中央値が66以上70未満なので〇。Aは四分位範囲は平行移動しただけなので等しい○。Bは第1四分位数は中と低がほぼ同じに見えるので×。C第3四分位数は中が一番低いので×で、@とAが正解です。Bが微妙な選択肢だったことを除けばこれで5点は美味しいかなという問題ですが、これはほんとに図を読み取るだけの問題でした。

 数学T専用問題の平均点がかなり低いようです。第3問のせいかもしれませんが、これはそれだけ数学Tで受験できる大学が減った社会的影響の方が強いでしょう。いずれにしても、数学T受験生は、かつての数学Tがとても生きると思います。2次関数・三角比の出題が大半だった2010年頃の過去問をしっかりやって、データの分析もしっかり対策を練ってください。
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2015 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

2015/01/19 20:01
 昨日に引き続き、数学U・Bについても感想と解法を書いていきます。新課程になることでの変化は、3次の因数分解や二項定理などが数Uに移行したくらいで、もともとこの方程式分野はほぼ数学U専用問題でしか出題されていませんでした。ほとんどの受験生が選択する数学U・Bの第1問から第4問までは新課程と旧課程全く同じ問題でした。事実上影響はありません。問題構成・配点も変化なく、例年通り数U60点、数B40点でした。新課程の第5問の確率分布は正規分布表が出るという見たことない出題がありましたが…。

 なお、今年も河合塾のホームページではセンター試験解説速報講義を配信しています。
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/15/lecture.html

数学U・B
 まずは数学U・Bの第4問まで見ていきます。さて、数学U・Bは要するに新課程の影響はなかったわけですが、今年の問題はというと、とにかく見た目が難しい、これに尽きます。分かれば問題は極端に難しいわけではないといえるのですが、まずやる気を削ぐような見た目の複雑さがあります。

 第1問[1]は、3年ぶりに復活した三角関数でした。まず7θとは何ぞやと思います。OPは、点Pが明らかに単位円上の座標表示になっているので、半径2の円上ということから2と分かります。PQはPとQの差が(cos7θ,sin7θ)ということから、Pからの距離が1ということになります。いずれも2点間の距離の公式を使ってもかまいません。OQは2点間の距離の公式と、sin^2θ+cos^2θ=1を使うと、5+4(cos7θcosθ+sin7θsinθ)となり、cosの加法定理より6θとまとめられます。この6θは135度〜270度なので、最大値はcosが0、つまり6θが270度の時、よってθがπ/4のとき、OQ=√5となります。右頁、直線OPの方程式は、傾きを考えると、y=(sinθ/cosθ)xなので、Bと同値と分かります。O,P,Qが同一直線上ということは、この直線の方程式にQを代入して成り立つはずなのですが、ベクトルのようにPとQの差を考え、平行条件で行った方が良いかもしれません。どちらでも結局 -sin6θ=0となるので、6θ=π、つまりθ=π/6のとき同一直線上になります。(3)、直角となるときは三平方の定理より、OQ^2+PQ^2=OP^2より、OQ^2=3でOQ=√3となり、5+4cos6θ=3を解くと、cos6θ=-1/2、よって、6θ=240度、θ=40度=2π/9となります。図形と方程式などとうまく融合している良問でしょう。

 第1問[2]は指数方程式でした。対数が全く絡まないのは珍しいでしょう。これも平方根や3乗根が出てきたりと見た目で嫌気がさします。(1)、解けるか半信半疑で、@を2乗、Aを3乗してみると実は違いがxが1つ多いだけと分かります。よって、x=a^2/b^3、これを代入するとyも分かります。(2)はbに代入して指数計算するだけです。うまくマーク欄に合うように変形してください。x=1/8a^2、y=4a^2です。x+yは相加相乗平均より、2√xy以上なので、うまくaが消えて√2以上と分かり、等号成立条件はx=yの時より、aが2の-5/4乗の時と分かります。指数計算を丁寧かつ正確にやっていけば誘導もされているので解法に悩む問題ではなく、問題自体は簡単なのですが、いかんせん見た目が難しく見えます。相加・相乗平均との融合という意味では面白いのですが、対数がないのは残念です。

 第2問は微分・積分でした。近年の微分中心傾向を今年も踏襲しています。まさかと思ったのが、(1)でいきなり平均変化率を出題してきたところです。追試ではかつてあるらしいのですが、本試では初めて出たのではないでしょうか?微分係数の定義を問ういい問題です。平均変化率はyの増加量/xの増加量よりa+h/2となり、微分係数は平均変化率の極限値なので、このhに0を代入するとaと分かります。(2)、Pにおける接線ℓは、傾きがaで通る点がPということより求められます。この接線にy=0を代入すると、いわゆるx切片がx=a/2となります。Qを通り、ℓに垂直な直線mは、垂直条件より傾きが-1/aで、先ほど求めたQを利用すれば求められます。右頁が計算が大変です。△APQの面積SはQが直角なのでAQとPQの長さを求めても行けます。あるいは台形から引くやり方でもいいでしょう。Tは台形から0〜aの定積分を引くとよいでしょう。そのS-Tを計算し、S-T>0は分子が正となればよいため、a^2-3>0を解いてa>0より、a>√3となります。S-Tの最小値は、S-Tを微分すると分子が3a^2-3となり、a=1で極小かつ最小になります。a=1を代入して、最小値が-1/12となります。SとTを求め、その差の増減表を作るという斬新な問題で、計算量もかなりあります。昔の積分中心の頃よりはマシとはいえ、相変わらず30点もあり、どこか途中で計算ミスすると終わりなのが恐ろしい問題です。

 第3問は数列でした。たった20点とはいえ、たぶん自分が今まで見てきた中で最も難しい数列の問題だった気がします。(1)だけは簡単に解けるとはいえ、合計3点しかありません。(1)a(n)は2,4,8,6,2,…となります。つまり4つ周期で繰り返すので、それを表す式はBです。が、⓪の5nも正解と訂正されました。4n+nだから確かに余りは等しくなりますが、普通気づかないですね。(2)、数Vをやった人は漸化式を段階的に繰り返す作業に慣れていると思いますが、b(n)のnにn+3,n+2,n+1,nを代入した式をつくりそれを前の式にいれていくと、分母が4の4乗、つまり2の8乗となります。連続する4つの積は2*4*8*6になるので、3*2^7です。すると、先ほどのbnの4つおきの漸化式に入れると、bnは4つおきに公比が3/2の等比数列になります。あとは4の剰余系で分類します。b(4k-3)とは、4で割ったとき余りが1、つまり第1項、第5項、第9項…の一般項です。これは初項が1、公比が3/2です。b(4k-2)とは余りが2のときで、b(2)=1/2なので、初項1/2、公比が3/2.。同様にb(3),b(4)をやっていくと4種類すべての数列の正体が分かります。(3)、S(4m)とは、この4種類がm個ずつあるということなので、等比数列の和の公式を4種類ですべて用いて和を求めてください。(4)、まず一般項の積は(2)で求めた4種類をただ掛ければ求められます。T(4m)はb(1)〜b(4m)を掛けたものですが、b(1)〜b(4)はk=1のときで、b(5)〜b(8)はk=2のとき…〜b(4m)はk=mの時と考えられるので、1/4をm回掛け、(2/3)を何乗したかというと、0+4+8+…+4m-4まで足したものなので、ここで等差数列の和の公式より、2m^2-2m乗と分かります。T(10)はT(8)×b(9)×b(10)で、T(8)はm=2なので、先ほどの答えのmに2を代入し、b(9)とb(10)を丁寧に(2)より求めると計算できます。まず問題の式が何を言っているのか分からなかった人が多かったと思われます。

 第4問はベクトル。計算量は多いので簡単とまでは言いませんが、難易度はいたって例年の普通レベルの問題でした。空間で難しい年もあることを考えると、楽な方だと思います。今年はひし形を中心とする平面の問題です。結果的にはQは直線BCのCの延長上になると思いますが、間違えて図を描いても解けます。(1)ベクトルOPは内分の公式で求められます。ベクトルOQは、ベクトルOCがb-aであることを代入すると求められます。aとbの内積は1*1*cos60度より1/2。OPとOQの内積は先ほど求めた小文字の式を掛け合わせ、a,bの大きさが1、内積1/2を利用し、この内積が0になるよう方程式を解くとt=5/4となります。OPやOQの大きさは、2乗してもいいですし、OPは余弦定理を使っても求められます。△OPQの面積は、直角を利用するとOP×OQ/2で求まります。(2)は、RとTが登場します。RはBCを1:3に内分することより、b-1/4aとなり、OPとOQは(1)で求まっているので、それらを代入するとOTがaとbで2通りに表現できます。1次独立より係数比較をし、sとrの連立方程式を解いてください。この値を代入するとベクトルOTも分かります。最後、面積比は面積を求めようとしない方がいいでしょう。s=1/3より、TはPCを1:2に内分し、r=7/9よりTはORを7:2に内分しています。いかにもマーク欄からS(2)、つまり△PTRを2とおきなさいと言っているので、図を描くと底辺比=面積比の性質より、△OPT=7とおけ、△OTQはその2倍なので14、つまり△OPQ=21と分かります。

 ということで、例年数学U・Bは量が多いと言われますが、今年も例外に漏れない形となりました。もう少し平均点が6割になるようにしてもらいたいです(今年、予備校の予想でも5割を切りそうです)。そして、数列は難しくなりすぎているので、基本に戻ってもいいのではないかと思います。ただ、今年の問題は勉強になる良問も多いので、知識に穴が無いよう来年以降の受験生にはこれから頑張ってほしいと思います。

数学U専用問題
 ここからは数学U専用問題を見ていきます。こちらは旧課程用問題はありません。なおかつ、第1問・第2問は数学U・Bと完全に共通問題でした。なので、第3問と第4問を見ていきますが、正直数学Bの難しさに比べると実に易しく、こちらを選べる大学であればこちらの方が良かったでしょう。平均点が低いのは明らかに受験層の違いでしょう。

 第3問は図形と方程式でした。昨年まで2年間は第1問の三角関数と交換状態だったので大問として3年ぶりに復活したという感じでしたが、問題は特に難しくもなければ深さもありません。(1)、x軸対称はy座標の符号が変わるので@が答です。(2)、垂直な直線の傾きは積が-1になればよいので、傾き2の直線に対して垂直な直線の傾きは-1/2です。中点の座標は平均、つまり足して2で割ったものです。オの座標をy=2xに代入して、連立方程式を解くとカ〜シが埋まります。計算が若干面倒です。(3)、1:3に内分する点は、内分の公式よりDの座標が求まります。ODの2乗は、x座標の2乗+y座標の二乗をすることで、2/5(p^2+q^2)、つまりOAの2乗の2/5倍となります。(4)、(3)より、ODの長さはOAの長さの√10/5倍のはずなので、OAが2ならODは2√10/5となります。基礎的な公式を問う問題でした。

 第4問は複素数と3次方程式の問題でした。昨年までと変わらない構成です。10年位前と違って誘導が実に丁寧で、解法に迷う問題ではありません。(1)は完全に教科書の問レベルの問題です。P(1+2i)はそのまま1+2iを代入して、実部と虚部にまとめていくとア〜キが埋まります。これが0になるには、実部も虚部も0になればいいので、その連立方程式を解いてください。a,bが求まります。@は、x=1を代入すると0になるので、因数定理により(x-1)で割り切れることが分かります。割るとサ・シが埋まりこれを解の公式で解くとスが分かりますが、1+2iが解をもつとき、1-2iも解をもつのは有名ですね。(2)になると若干面倒になります。Q(x)にpという文字が入るので大変ですが、定数項は1なので、因数定理を使うとき±1を代入するのが鉄則です。Q(-1)=0になるので、因数定理により(x+1)で割り切れるはずです。割り算してください。ソが埋まります。異なる2つの負の実数解をもつ条件はこの2次方程式のD>0、解と係数の関係のα+β<0、αβ>0の3つの連立不等式を解くのですが、αβ=1>0は常に成り立ち、p>3、p>1より、p>3となります。結局判別式だけという意味のない問題です。解と係数の関係より、積が1ということは先ほどのβに相当するのがγだったと分かり、αγ=1と、(-1-α):(γ+1)=3:2の連立方程式を解くと、α=-3/2、γ=-2/3となり、α+γ=-p+1に代入するとpも分かります。自分のこの解説もβが混乱させてしまうかもしれませんが、テスト本番でも混乱しないで処理してください。

 何しろ第1問・第2問が大変なことを考えるとバランス的にはこれでいいと思いますが、数学Bの異常なむずかしさに比べればまだ楽だったでしょう。数Uは計算量が多いのが常なので、知識が身についても練習を積まないと時間に対応できません。来年以降の受験生がこれを見ていたら、狭いスペースでの手計算の練習を怠らずに対策してほしいと思います。
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2015 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

2015/01/18 23:01
 明けましておめでとうございます。さて、今年もこの季節がやってきました。大学入試センター試験がこの土・日に行われました。受験生の皆さんはお疲れ様でした。今年は数学と理科が新課程1年目ということで、数学も今年から少し変わりました。大きな所では数学Tにデータの分析が追加され、数学Aが3分野から2つ選択制になりました。

 さて、先ほど20時過ぎに問題が公開され解いてみました。今年の数学T・Aの問題の感想ですが、新課程1年目はもう少し簡単と予想していましたが、確かに1つ1つの問題自体はそれほど難しくはないのですが、分量が多いと思いました。数Tが実質大問4つ、数A2つ解かないといけない訳で、時間的に60分という焦る中で、データの分析はじっくり検討する必要があり、小数の計算もあることを考えると結構つらかったです。とりあえず数学T・Aをざっと見ていきます。

数学T・A

 第1問は2次関数で20点でした。今年は2次関数にはじめ文字がなく解きやすいです。平方完成して頂点を求め、平行移動は頂点の移動で考えるとよいでしょう。頂点の座標は(1+p,3+q)になります。(1)上に凸で最大値がf(2)になるためには、頂点1+pがx=2と等しいか小さければよいので、pは1以下になります。昨年同様、不等号を選ぶ形式でした。次に最小値がf(2)になる条件は、定義域の中間のx=3が、1+pと等しいか小さければよいので、pは2以上になります。(2)2次不等式の解が-2<x<3になる条件ですが、y=-(x+2)(x-3)になればよいので、これを展開し平方完成すると、頂点の座標が(1/2,25/4)となります。これが(1+p,3+q)と等しくなればよいので、p,qが求まります。(1)から最大値・最小値の両方の場合分け問題が出るということで、若干重たいです。でも、問題としてはひねってはいなく、2次不等式もあり良問だと思います。

 第2問[1]は命題で10点でした。(1)は対偶を答える問題、仮定と結論をひっくり返し否定するわけですが、「かつ」の否定は「または」です。これを使うと、@だと分かります。(2)が面倒なのですが、命題「(p1かつp2)⇒(q1でないかつq2)」の反例を見つける問題です。つまり、p1とp2の条件を満たした上で、結論を満たさない、つまりn+1は5の倍数か、または6の倍数でないものを探す問題です。とりあえずnとn+2がともに素数なのを書き出して探すのが正攻法だと思います。n=3,5,11,17,29です。このとき、n+1が5の倍数になるのは29のみ、n+1が6の倍数でないのは3のみなので、n=3,29となります。

 第2問[2]は三角比で15点でした。前半は簡単です。まずは余弦定理でACを求め、sinBはsin120度なので√3/2です。sinCは正弦定理7:√3/2=3:sinCより求められます。さて、後半が難しいのですが、AD=3√3で、角Dが鋭角になるような図を描かないといけません。直線BCのBの延長側になるでしょう。外接円の半径Rの範囲を求める問題ですが、最小はACが直径になるとき(角Pが直角になるとき)のはずで、7/2となります。最大値は点PがBと重なるときかDと重なるときのはずで、正弦定理を用いると、BのときはR=7/√3になり、DのときはR=7となります。よって、Dの時が最大となり、7と求められます。この最後の問いが実に難しい問題でした。

 第3問は新課程となり新登場のデータの分析で15点でした。4ページにわたる大問で、1ページに1問という出題も数学では珍しいのではないでしょうか?けっこう面倒な問題です。[1](1)は、ヒストグラムから第3四分位数の階級を答える問題。40人なので、第3四分位数は上位10位と11位の中間です。すると、25〜30と分かりCが正解です。(2)は矛盾している箱ひげ図を4つ選ぶ問題。(1)より、第3四分位数が25〜30になっていない0,2,3がまず間違いです。そして、第1四分位数が15〜20のはずなので、5も間違いと分かります。よって、0,2,3,5が答です。(3)がかなり面倒な問題。開成高校の先生もセミナーで、データにストレスを与える問題がいつかは出るとは言っていましたが、1年目から出題されるとは…。1つ1つ検証する必要があります。矛盾するのは0と2です。0は、どの生徒も記録が下がっているはずなのに、第1四分位数が上がっているのが矛盾です。2は上位1/3が全員伸びているはずなのに、最大値が下がっています。(4)は相関係数を求める問題。これは公式より54.30/(8.21*6.98)をすればよいのですが、この小数の計算が地味に面倒です。0.95くらいと分かります。この検証と計算を短い時間にできるかが疑問です。結構配点の割に辛い問題でした。

 以下、数学Aからの出題でいずれも20点になります。3題のうち2題を選択すればよいことになります。

 第4問は場合の数でした。今年は確率が全く出題されませんでした。かといって問題が簡単かというとそうではなく、かなり間違えやすい問題だと思います。(1)はまず左端の色を考え、そこから隣の色はそれ以外と考えると、3*2*2*2*2=48通りとなります。(2)は真ん中から考えると、真ん中3通り、その隣の色が2通り、端が2通りとなり、3*2*2=12通りです。(3)は、必ず交互になるので、1か所の色を青か緑と決めると他が全部決まります。よって2通り。(4)は、赤□赤□赤なので、□に入る色が2通りずつの4通り。(5)の1問目、左端が赤の時、あと1か所の色を決めるとすべて決まるので2通り。右端の時も同様に2通りで4通りです。端以外の1枚が赤のときは真ん中が赤の時4通り。2枚目、4枚目が赤の時も4通りずつなので、合計12通り。よって、赤が1枚のときは16通りになります。(6)赤が2枚のときは直接考えるのは非常に複雑なので、全体(1)48通りから引きましょう。(3),(4),(5)を引けばよいので、26通りと分かります。最後の問題はすべて合ってないと正解しにくい問題ということで怖いですね。ちなみに旧課程の問題は(7)で期待値まで求めさせています。確率が1問も出題されないのは初めてらしいです。

 第5問は整数。これも新課程になり正式には初登場となります。まあ今までも整数を扱う出題はありましたが。今年の問題は割と簡単でした。まず(1)は756を素因数分解させ、正の約数の個数を求める問題。約数の個数は指数+1をかけていくと求められます。整数か場合の数の典型問題です。(2)は、中3の教科書の定番問題。√amが自然数となるためには、amが平方数になればよいわけです。指数が奇数である3と7を一つずつかけた21が最小になります。実際はm=21k^2になればよく、この時、√am=2*3*3*7*k=126kとなります。(3)、126k-11ℓ=1となるkを求めるのですが、k=1〜9を入れていくのが早いと思います。実はこの時、modの感覚があると、規則性よりk=9と見つけやすくなります。k=9のとき、1134を11で割ると103余り1なので、k=9,ℓ=103となります。(4)は、√am=126kで、√756m=126*9。この両辺を2乗すれば求められます。うまく素因数分解から両辺を約分して計算しないと何百万という計算になるので気を付けてください。m=1701です。この問題はうまくやれば10分かからずに完答可能でした。

 第6問は図形。実はこの問題は正確に図を描くのが大変な問題です。図を描くという山を越えれば問題自体は易しめです。まず、CE・CBは方べきの定理よりCD・CAと等しいので10と分かります。これより、CE=2√5と分かり、BE=√5となります。つまり、BはECの中点です。重心は中線の交点なので、GはAB上にあり、2:1に内分することが分かります。よって、AGはABの2/3倍です。DP/EPはメネラウスの定理より、3/5となります。右頁、2角が共通より、△ABCと△EDCが相似となります。相似比でもいいですし、結果二等辺三角形になるので、DE=CEより、2√5となります。最後、@とAより、EPはEDの5/8倍なので求められます。誘導が丁寧で、円周角の定理は事実上読めばいいだけなので、図さえかければ完答可能でしょう。

 数学Aは3つのうち2つを選ぶというのが実につらく、時間があれば問題を見てやりやすいものを決めればいいのでしょうが、いかんせんたった60分しかなく、最後まで完答できるのはどれか見極めるのはつらいです。特に第6問の図形はやってみないと難易が分かりにくいでしょう。今年の場合は場合の数が完答はつらい反面、細かくは稼げそう。でも、結果的には整数・図形が点数はとりやすかったでしょう。もちろん来年はどれが良いかはわかりません。来年以降の受験生は、時間・作戦含めたくさん練習してほしいと思います。

数学T専用問題

 次に新課程の「数学T」の問題を見ていきます。構成は、第1問[1]が数と式、[2]が命題、第2問が2次関数、第3問が三角比、第4問がデータの分析でした。命題は数学T・Aと全く同じで、2次関数・データの分析はほぼ同じですが、1問ずつ追加されています。配点なども変わっています。

 第1問[1]は数と式です。(1)は因数分解された式からcの値を求めるのですが、定数項だけに着目して展開し、係数比較すれば、-4c=-8より、c=2となります。(2)は、因数分解された式を展開する必要があるでしょう。xの3乗の項の係数比較より、a+b=5となり、xの2乗の項の係数比較より、ab=4と分かります。xの項の係数比較よりk=4b-2aです。a<bならa=1,b=4となるので、k=14となります。aがb以上ならa=4,b=1となるので、k=-4となります。(3)a<bならば前半が解なしとなるので、後半の2次方程式を解の公式で解いてx>0より、x=-2+√6とわかります。aがb以上なら前半がx=-2でx>0より不適。後半の2次方程式を解いて、x>0より、x=1となります。

 第3問は三角比です。確かに数学Aの知識を使わずに解けるような問題になっています。3辺の長さが与えられているので、余弦定理よりcosB=3/4となります。これより相互関係などから、sinB=√7/4です。ADは直角三角形とこのsinBから√7と分かります。同様にcosBからBE=21/4と分かります。△EBDで余弦定理より、DEの長さが分かるので、△DAEの3辺が求められ、cos∠DAEが-√7/4となります。右頁、AFは、△AFEの直角三角形を使うとよいでしょう。∠B=∠Fなので、AF=AE/cosBより求まります。DFの長さは√7を足せばよいので、これより△BFDで三平方の定理を使うとBFが分かります。このBFを使って正弦定理を使うと、△ABFの外接円の半径が求められます。△ABDと△AEFの面積比は、相似比√7:5/4の2乗で求められます。相似に気づけばラストは簡単です。途中の計算が面倒で複雑になるのですが、数Tは時間をかけられるのでそれほどきつくはないでしょう。

 追加された問題ですが、第2問2次関数は(2)が追加されており、(-2,0)を通るときなので代入するだけです。f(x)は求めたqを代入して因数分解すればよいですが、たすき掛けも(x+2)という因数が出ることが分かっていればやりやすいでしょう。第4問データの分析は[2]に(2)が追加されています。これが実に引っかかりやすい問題で、相関係数の公式をしっかり理解しているかが問われています。ちょうど平均点の人が加わることで共分散と相関係数が変化するかですが、共分散は分子が変わらず分母が39→40に変わるので値は減ります。しかし、相関係数はSxyの分母も40、SxとSyの積の分母も40に変わるので結局値は変わりません。つまりFが正解です。これは相関係数の公式の意味を理解していないと間違えるでしょう。

旧数学T、旧数学T・A
 旧課程用の数学@の問題も見ていきます。旧課程数学Tの問題は基本的に新課程の数学Tとほぼ同様の問題となっています。変更点は命題とデータの分析がない代わりに、第1問[2]が1次連立不等式の問題になっており、第4問が2次連立不等式の問題になっていることでしょう。

 第1問[2]は1次連立不等式の問題。(1)、a=10のとき、x<2なので、これを満たす正の整数xはx=1の1個のみです。(2)はx>6/(√2-1)なので、分母の有理化をすると求められます。(3)、6√2+6とは、√72が8と9の間であることを考えると、14と15の間の数なので、Aの不等式がx<(a+2)/4なので、この(a+2)/4が24より大きく、25以下になればちょうど解が10個になります。4倍して2を加えることで答が分かります。

 第4問は2次連立不等式の問題。(1)はたすき掛けで因数分解するとわかります。(2)a=1のときは、@が1と6の外側、Aが0と13の内側です。a=4のときは、@が1と45の外側、Aが0と34の内側なので、0から1が答です。(3)、(1)よりx=1に解を持つのが明らかなので、すべての実数で2次不等式が成り立つには2a^2+3a+1も1になる必要があります。よって、2a^2+3a=0を解いて、a=0、-3/2となります。@とAの連立不等式の解ですが、@はすべての実数で成り立つはずなので、Aだけを考えればよいでしょう。a=0のときは0から10となり、a=-3/2のときは0から37/4となります。ただ代入して2次不等式を解くだけでした。

 旧課程数学T・Aの問題も第2問までは新課程数学Tの問題と同じで、第4問が場合の数・確率ですが、新課程数学T・A第4問とほぼ同じで、(7)に期待値が追加されています。全部の場合の数が分かっているので、確率にして赤色の枚数×確率の和を計算してください。第3問だけがオリジナルなので見ていきます。

 第3問は数T三角比と数A平面幾何の融合問題です。cosCは余弦定理から1/2と求めてください。つまり角C=60度です。sinC=√3/2で、外接円の半径は正弦定理より分かります。弧ABと弦ABで囲まれた図形の面積は、扇形OABから△OABを引けば求められます。円周角の定理より、∠AOB=120度なので、扇形と三角形の面積公式が利用でき求められます。ADの長さは∠ACD=120度なので、△ACDで余弦定理を使うとよいでしょう。7と分かります(実は△DABは二等辺三角形ですが、使いません)。方べきの定理より、AB・EB=BC・BD=14と分かり、AB=√7なので、BE=2√7。つまりAE=√7で、AはBEの中点だったと分かります。△ABCと△EBDの面積比は、△ABCを2とおくと、底辺比=面積比を使うと△ACDは5になり、△ABD=7。Aは中点なので、△EAD=7で△EBD=14です。つまり2:14=1:7となります。△EBDの重心Gは、中線の交点だからGはDA上にあり2:1に内分します。よって、7×2/3で14/3となります。新課程の第6問の要素もうまく融合しています。同じ知識を試すということで、良くできた問題だと思います。

 なるべく共通問題にすることで、選択格差をなくそうとしている配慮がうかがえます。ただ、新課程数学T・Aは大問が多くて時間が限られていることを考えるとやっぱり一番つらかったのではないでしょうか?基礎力がついたらあとはとにかく時間との闘いなので、早い処理を目指して練習してください。
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2014 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

2014/01/21 14:00
 次に、「数学U・B」と「数学U」の方の感想を書いていきます。自分も頑張ってこれを早めに書いたつもりでしたが、yozemiの速報が実に速い。それ以上に今年の代ゼミの解説授業はすごい!今まで3教科の解説でしたが、今年は5教科18科目の解説を配信しています。自分も暇を見つけてこの動画を見ていきたいと思います。

・代々木ゼミナール 2014年センター試験解説講義動画配信
 → http://yozemi.uliza.jp/index.html

数学U・B
 こちらは、数学T・Aよりは内容的には万遍なく、バランスよく出題されている印象を受けました。的確に実力が反映される問題…と言いたいところなのですが、いかんせん問題量が多く、時間配分を間違えると大量得点を失いそうです。昔からある傾向ですが、やはり数学U・Bの分量の軽減はもう少し考えてほしい所です。

 第1問[1]は、今年も図形と方程式からの出題でした。2年連続三角関数が数学U・Bではなく、数学U専用問題に。三角関数は重たいことが多く、数学U専用問題の第3問に持って行った方がいいと考えた結果かもしれません。ですが、図形と方程式の問題、今年は計算量が多く、意外に時間を取られた人が多かったかも知れません。ちなみに、今年含め軌跡・領域は最近出題されていません。(1)まず、Pを通りℓに垂直な直線は、垂直条件より、傾き-3/4と求められます。それとℓの交点は連立方程式を解けばよいのですが、半径rを求める作業が面倒です。やることは誘導されていて、rはPQに等しいと書いてあるってことは、2点間の距離を求めよと言っているわけですが、この2乗計算はかなりつらいです。差を取ったら、2乗する前に16/625と9/625でくくってください。すると、√の中が平方数になるので求まります。(1)ができれば、(2)は誘導に乗ればやっていけます。r=qより、絶対値の方程式ができますが、場合分けすると、絶対値の中身が負のときはpとqが異符号になると求められ、問題文の条件p>0,q>0に反します(マーク欄にも当てはまりません)。だから、p=2qとなり、円の方程式が仮に作れます。そこにR(2,2)を代入すればqの2次方程式ができ、2通り求められます。最後の(3)はほとんどおまけです。S(2,1),T(4,2)と分かるので、OはSTを1:2に外分、これは図を書けば明らかだと思います。(1)の最後を解ければ後は楽なのですが、ここが山場だったと思います。とにかく計算が面倒で重たい問題でした。

 第1問[2]は、指数・対数関数の出題。こちらも問題文が長くて一見辛そうですが、実は計算量は例年にないくらい少ないです。まず、代入計算で点取り問題。logの式変形をして、3で割るとテまでわかります。ここから珍しく、自然数ということで整数問題みたいになります。真数が自然数なので、lognの最小値はlog1=0です。これより、logmが1以下なので、mは1と2しか可能性はありません。問題右頁、mが1の場合、lognは3/2以下なので、nは3の3/2乗以下、つまりnの2乗は3の3乗=27以下となります。すると、nの可能性は1〜5の5個と分かります。同様にしてmが2の場合なのですが、このときlognは0以下となるので、明らかにn=1の1個しかありません。よって計6個というのが答です。実はほとんど定義・意味さえ分かっていればいい問題で、公式もあまり使いません。来年から数学Aで本格的に出題される整数問題を意識した問題だったかもしれませんが、整数問題としても知識はほぼいらない問題でした。

 第2問は微分積分メインの出題。こちらは今年は幅広い知識を使う問題で、計算負担は例年よりはやや少なめという感じでした(それでも多いですけどね…)。まず(1)、微分せよは点取り問題。そして意外にも極値を取る条件を聞く問題が出題されました。センター試験でこういう厳密性を問うことって今まであまりなかった気がします。極値をとるためには導関数が0になり、かつ符号が変わる必要があります。つまり導関数がx軸と2点で交わる(D>0)事が条件なので、p>0の@が答です。(2)、(1)の極値を取る条件を利用し、p/3を代入して方程式を解くと、p=3と分かります。このとき、f(x)=x^3-3xで、増減表を書けばx=-1で極大、x=1で極小となります。右頁、曲線Cの接線の方程式を、接点bとして公式より求めたら、これがAを通ることからbの3次方程式を作ります。3次方程式なので、因数定理を利用して方程式を解くと、b=1,-1/2と求まります。傾きが0でないからb=-1/2の方なので、これを先程作った接線の方程式に代入するとℓの方程式が求まります。点(1,-2)を頂点とし、原点を通る放物線Dを求めるのは、数T2次関数の決定問題です。y=a(x-1)^2-2とおいて、原点を代入してa=2を求めます。最後、直線から放物線を引いた式を0〜1で積分計算すると、面積が11/24と求まります。ここは普通に積分するしかなく、若干分数計算は面倒ですが、それ以外は計算はさほどきつくはありません。初め以外は定番ですが、やはり微分の出題量が多いのは否めません。それに加え、今年は高次方程式と2次関数の決定が絡むのが幅広い出題と感じた所です。

 第3問は数列。今年は階差数列と漸化式・部分分数分解の出題でした。(1)、まずは階差数列の意味から、第2項15、第3項28と求めます。階差数列は等差数列の一般項の公式より4n+5となるので、Σ計算から元の一般項を求めます(n=1の確かめはマークなので不要)。(2)では見たこともない、一見複雑そうな漸化式が登場します。まずb2はこの漸化式のnに1を代入すると求まります。@・Aよりと書いてあるので、(1)でもとめられたanとan+1(nにn+1を代入したもの)を漸化式に代入すると、分数式の約分になります。n+1で約分してセ〜タが求められます。右頁がやや難しいです。Bをcnとcn+1を用いて変形すると書いてあるので、cn+1=(2n+3)bn+1から、bn+1=cn+1/(2n+3)として代入して分母を払うと、チとツの所が分かります。右辺の(2n+3)Cnをdnとすると、dn+1=(2n+5)cnなので、dn=d1=6という定数数列になります。これを利用すると、bnまで求まります。ちなみにここは問になっていなく、トが分かった人は読み進めていけます。すると、部分分数分解の公式が使えそうと分かります。2間隔なので、1/2倍すればいいので、6の半分の3が分子になり、これを足していくと初項と末項以外すべて消えるので、通分すると答えが出ます。昨年のような帰納法の問題でなく、数列の標準問題に戻ったこと、そして誘導が丁寧で学習している人は解法にあまり迷わないのはいいのですが、dnまで登場する重い問題であるのは否めません。

 第4問は空間ベクトルの出題。これは難易度・量ともに妥当です。図を描くと意外にシンプルで、2:1に内分も長さ3なので、座標もすべて整数でわかります。(1)、LKはKの座標-Lの座標で求められ、平行四辺形ということはLK=MNBとなります。これより、s、tの値、つまりMとNの座標も分かります。そしてまた内分の問題が出ました。図を書けば1:2と分かります。LKとLMの内積は成分で計算すると0になり、この平行四辺形は長方形だったと分かります。LKやLMの大きさは成分の2乗和より√5と√14、面積は√70となります。(2)、垂直条件は内積0よりソは0です。もう明らかに成分で内積計算せよと言っているわけなので、1つ目の式より、p=2r、2つめの式とp=2rよりq=-5/3rと分かります。さらにOPとPLも内積計算せよというので、ここまでの式を代入すると連立3元1次方程式が自動的に解けることになります。2次方程式を解くと、rは0でないので、9/35となります。すると、Pの座標(OPの成分)も分かるので、OPの大きさも分かります。ただ、分数計算は第1問並みに若干辛いです。うまく3/35をルートの外にくくりだせば√70となります。最後、三角錐OLMNの体積はおまけです。完全にヒントが書いてあり、三角形LMNの面積は長方形の半分で√70/2、高さは今さっき求めたOPの大きさなので、かけると見事に消えて1が答になります。これは解けると気持ちいいですね。たぶんベクトルは例年よりは易しめです。

 今年の数学U・Bの問題は誘導も丁寧で、解法に悩む問題は少なく、時間をかければ解けそうな問題が多いですが、分数の計算が第1問から第4問全問に出てくるので、計算でうまくくくることができたかなど、時間のかけ方次第で点数がだいぶ変わってくると思います。数学U・Bの今年の問題は定番で、学習効果の高い良問だと思うので、来年以降の受験生はぜひやっておくとよい問題でしょう。

数学U専用問題
 今年も構成は昨年と同様で、三角関数が数学U・Bから消えてこちらの「数学U」専用問題の方に移行されました。逆に図形と方程式が共通問題の方になったわけですが、こちらの方も見ていきたいと思います。なお、第1問、第2問「数学U・B」とすべて共通問題なので、感想は省略します。

 第3問がその三角関数の出題です。2年前より配点も増え、問題文も2ページぎっしりと長くなりましたが、実は計算量はそれほど多くはなく、むしろ昔の第1問[1]にあった時代よりも楽になっている気がします。誘導が多くなっているだけという感じで、問題自体は定番です。ただし、これも自分で記述できるかという力が試されています。(1)、まずは倍角の公式を使えというので、1-2sin^2xの方の公式を使うと、たすき掛けで因数分解できます。これを使い、2次方程式を解けというので、sinx=-1と1/2になる角度を答えます。次にこの2次不等式を解けとなるわけですが、これはsinx>1/2の部分を答えればいいので、π/6〜5π/6(@)となります。これは自力で解いてから選択肢を見た方が混乱しません。(2)、最大値・最小値なので、(1)の@の式を利用し平方完成するとAが作れます。ここで2次関数のグラフを書くと、sinx=1のとき最大値2、sinx=-1/4のとき最小値-9/8と分かります。これを角度に直せばよいわけですが、最大値はx=π/2と明らかです。最小値は上に書いたようにsinx=-1/4なのですが、この角度を選択肢の中から選ばないといけないのがかなり大変です。αの但し書きを読むと、第1象限のαとの角度の関係を聞いているので、単位円を描いて求めてください。第3・第4象限で、第3象限の方はαと原点対称なのでDが正解、第4象限の方はαとx軸対称なのでHが正解です。(3)最後、これはここまでが分かれば楽勝です。グラフの正しいものを選ぶわけですが、最小値がsinx=-1/4の時(第3・第4象限)なので、これだけでAが正解と分かります。例えば(1)から上3つの選択肢に絞られますが、決定打には欠けます。最小値が2か所でとるものがAかBしかありませんが、Bは(1)も(2)も満たしていないので明らかに間違いです。全体的にこの問題は記述問題としてできた上のマーク問題になっていて、自力で三角不等式や2次関数への帰着ができたうえで、選択肢にあうものを探す力が必要となるので、マークを頼りにこの形式だけやってきた人には難しい問題だったと思います。

 第4問は3次方程式の問題で、少しだけ3次関数のグラフ(微分知識?)も出てくる問題でした。まずP(-1)=0より、xに-1を代入すると、d=c+1と求まります。つまり(x+1)で割り切れるので、d=c+1を代入して実際に割り算を実行します。すると@のイウエが埋まります。次にP(2)<-2なので、@の式にx=2を代入すると、c<-7/3となります。次にP(n)が0以上という式ですが、nが3以上のとき(n+1)の部分は明らかに正なので、{}の中のnの2次式が0以上になればよいということになります。cnだけ左辺に残してnで割ることにより、Bの式が作れます。nが3以上のときBの右辺の値は単調減少になるので、このBのcの不等式はnが3の時を満たせば、あとは4・5・6…の時もすべて満たすことになります。よって、n=3を代入した-8/3以上と分かります。右頁、3次関数のグラフを書くと、2次方程式の解がx軸の正の部分に2つ表れることが分かります。誘導されているのでグラフを描かなくても読み進められます。解と係数の関係より、α+βは-b/aの公式より、1-cと分かります。cの範囲は左頁最後で求められたので、この不等式を-1倍して1を足すと、10/3〜11/3と分かります。解と係数の関係よりαβは2なので、Dの式にβ=2/αを代入し各辺をα倍すると次の式ができます。しかしこの辺は問題になっていません。最後、αの範囲ですが、左辺と中辺、中辺と右辺の2次不等式をそれぞれ解いてください。ただし、0<α<2なので、連立2次不等式の範囲が2/3以上(5-√7)/3未満と分かります。全体的にストーリーが良くできているのはいいのですが、前半のcの不等式辺りが分かりにくい問題だったかもしれません。

 どちらもストーリーはうまくできている問題です。解けると気持ちいい問題ですが、数学U専用問題は主に文系という受験層を考えると趣旨が分かりづらかったかもしれません。最近のセンター試験は、問題文が長く、誘導に乗れるかが重要です。ただし、教科書のような定番問題ができることが前提で、そこに帰着させなさいと言っているわけです。だから、受験的基礎力がないと意味がないわけです。現在高2以下の来年以降の受験生は一刻も早く教科書レベルを完全にマスターして、基礎をつけてから応用力も磨いていってほしいと思います。
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2014 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

2014/01/19 21:38
 あけましておめでとうございます。さて、今年もセンター試験が行われました。現行教育課程においては最後のセンター試験となります(数学・理科)。今年は、センター試験でドミノ・ピザを頼んだ猛者がいる?という噂もありますが、とりあえず無事に終わったようです。それでは早速今年の数学の問題を解いてみた感想を書いてみたいと思います。

 ちなみに、来年以降の数学・理科の新分野出題例が大学入試センター側から公表されているので、来年以降の受験生で見てない人は見ておくとよいでしょう。
 →http://www.dnc.ac.jp/modules/center_exam/content0594.html

数学T・A

 さて、今年の数学T・Aの問題を解いてみた個人的感想は若干いまいちでした。最近出題が教科書全般という良い傾向があったのに、今回は明らかに出題に偏りがあります。たとえば絶対値や命題・期待値が出なかったり、確率が1問しか出なかったり、数A平面幾何の知識が活かせなかったり。つまり、学力が反映されにくいという意味で自分はあまり好きなテストではありません。ただ、さまざまな知識が絡むと難しいわけで、解く受験生にとっては割とやりやすい、比較的楽な問題だったかもしれません。

 第1問[1]は数と式の出題で、今年も平方根の計算問題でした。(1)では積と和をまず地道に計算します(若干面倒)。そして対称式の公式より2乗の和を求めます。ここまでは定番です。(2)では誘導通りケコの所を(1)を利用して求めます。そこからaの4次恒等式を作れというのですが、bを消せばいいと気付けば、ab=2より、b=2/aを代入し、最後にa^2倍すれば4次式を作ることができます。誘導に乗れば答えは出るのですが、若干不安になる問題ですね。本当にこれだけしか答えがないのか。テスト会場で4次関数のグラフをかけるわけでもないですし…。

 第1問[2]は集合の出題でした。必要条件・十分条件などの命題が全く絡んでこない問題でした。それはいいのですが、(3)などこれも腑に落ちない問題です。とりあえず(1)は、25<n<36ということから、全体集合の要素は10個となります。(2)はめずらしく空集合をきいている問題ですが、選択肢の中で空集合を見つければいいので、各集合を書き出せば問題ありません。(3)もそれを利用すれば解けます。ですが、問題は3つの集合が出てくるのですが、この集合の表現は大丈夫なんでしょうか?前半を()を付けた方がいいのではないかと思います。自分はそこが気になってしまいましたが、真ん中の集合が右の部分集合になるのはないので一応正解は出せます。今年の第1問は若干問題が良くないと思いました。

 第2問は2次関数の出題です。近年よく出題されていた最大・最小の場合分け問題は出題されませんでした。そして最後にがっつり解の配置(符号)問題が出題されましたが、全体的には割と定番な問題です。少なくとも昨年のように立式から大変なんてことはありません。まずは平方完成して頂点を求めます。(1)、pはy切片なので、x=0を代入して、それが-27になるよう2次方程式を解きます。そして、a=3のときとa=-1のとき、グラフがどれだけ平行移動したかを聞く問題ですが、頂点を求めて(後−前)をするだけで求められます。(2)、x軸と共有点をもつ条件はDが0以上になればいいので、判別式を解くとサ〜ソが求まります。そしてpの最大・最小ですが、定義域つきのただの最大・最小問題で、教科書の問レベルです。最後の問題だけやや難しいですが、解の配置問題としては有名問題です。共有点のx座標が-1より大きい条件を求める問題で、判別式・軸・端点を調べます。今回の場合、Dはやってあるので、あと軸が-1より大きいことと、f(-1)が0より大きくなれば条件を満たします。この連立方程式を解くと答えが求まります。今回、不等号も選ぶところが精神的に負担がありますが、イコールのつけ忘れなどだけ気を付ければ正解に至ることができると思います。2011・2012年の過去問をやっていた人は、出題が似ているので点が取りやすかったと思います。

 第3問は三角比と平面幾何の融合問題。今年は数Tの方が主体で、問題は割と取り組みやすいです。まずCAは余弦定理で4と求まります(なので、AB=ACの二等辺三角形です)。cosAも、余弦定理より求まります。sinAは相互関係の公式あるいは直角三角形の図より求め、外接円の半径は正弦定理より求まります。(1)、AEの長さは、角の2等分線の性質より、AE:EC=BA:BC=2:1なので、4*2/3です。BEは図形的に一見いけそうなのですがおそらく不可能です。もう一度余弦定理をやることになるでしょう。△ABEか△BCE(∠B=∠C利用)で余弦定理すると、BEが分かり、BD:DE=AB:AEより3:2と分かるので、BDはBEの3/5倍です。よって答えが求まります。(2)、この2つの三角形は相似で、相似比はEB:EAより、√10:4と分かり、面積比はその2乗比の5/8倍となります。現行課程では数Tの教科書内容なので、意図的に出題したのかもしれません(ちなみに、来年からの新課程では中学校扱いの内容ですが、当然出るかもしれません)。最後の(3)は気づくかどうかの問題。3辺の長さの大小関係を角度から求めよという問題。角Aの二等分した角をa、角Bの二等分した角をbとすると、円周角の定理より∠FBA=∠FCA、∠FAC=∠FBCで、これらはすべて∠bとなるので、FA=FCと分かります。そして、△ADFに着目すると、∠FAD=a+b、∠ADF=a+b(外角の定理)なので、FA=FDと分かります。つまり、FA=FC=FDC(正三角形)だったという問題です。最後は気づくか気づかないかの問題でした。今年は数A平面幾何の出題が少なく、方べきもチェバメネも使えないので、受験生には楽でも、問題としては面白くなかった感があります。

 第4問場合の数・確率の出題ですが、ほぼ場合の数の問題です。珍しく経路を問う問題が出題されました。最短経路ではないので、若干焦るのですが、問題自体はそれほど複雑な状況は聞いてきません。(1)4回でBに移動するには最短の3と4を4回中2回ずつ使うので、4C2=6通りです。(2)、3回でC地点に行くには、3,4,5を1回ずつ使えばいいので、3!で6通りです。(3)、3回でC、3回でDは独立試行で、6×6で36通りあり、確率の掛け算を行えるので、1/36を2乗して、1/1296となります。(4)、6回でDは、問題文に丁寧に場合分けしてくれていて、1を含むときは1を1回、4を5回なので6通り。2を含むときは、2,5,4,4,4,4の同じものを含む順列と考えると30通り、それ以外は4が2回、つまり3,3,4,4,5,5の同じものを含む順列なので90通りと分かり、合計156通りという問題です。今年は期待値最後の年だと思っていたのですが、期待値が出題されませんでした。いつも期待値計算に泣かされる最後の問題ですが、今年はただ合計するだけ。これでいいの?と思ってしまいました。来年以降こういう出題になるという予告なのでしょうか?

数学T専用問題
 さて続いて、「数学T」の方の問題の感想などを書いていきたいと思います。今年は絶対値の問題がこちらにここぞとばかりに出題されています。なお、第1問[1]と第2問は、「数学T・A」と同問題のため、感想は省略します。

 第1問[2]は、絶対値を含む連立1次不等式の問題でした。とはいっても、(1),(2)はただの1次不等式の問題。内容自体はそれほど難しくはないのですが、不等号を選ぶのが大変です。(1)はx=1が不等式を満たすaの範囲なので、x=1を代入してaの不等式にすれば解けます。(2)はx=2が不等式を満たさないときなのですが、(1)と同様x=2を代入します。するとaが1/2以下なので、満たさないということはこの条件の否定です。つまりaが1/2より大きいと答えます。(3)では、a=0の時の連立不等式で、Aの|x-1|<5は、-5<x-1<5とやっていけば-4<x<6と場合分けしないで解けます。よって共通部分は-1以上6未満となります。(4)も同様にAを解くと-4-a<x<6-aとなり、Aの解と、連立不等式@・Aの解が一致するということは、@が影響を与えない、つまりAが@の部分集合になっていればいいということになります。数直線を書くと、6a-1が-4-a以下になっていればよいとなります(イコールが入っても@の解は連立不等式の解と一致します)。よってaが-3/7以下であればよいとなります。不等号も選ぶということで、厳密性を聞いている所が難易度が高いですが、センター試験だからと言わず記述模試などで丁寧な記述することを練習してきたかが左右を分けるレベルの問題でした。

 第3問は三角比の出題です。今年は前半の設定が数学T・Aと同じ問題でした。確かに角の二等分線の性質を使わないような問題にはなっていますが、円周角の定理など中学知識が重要になります。まずCAは余弦定理で求め、sinBは相互関係あるいは直角三角形の図より求めます。外接円の半径はsinBを利用し正弦定理で求められます。内角CAEと外角ACBの関係は、円周角の定理で内角CAEと角CBDが等しく、角の二等分より∠ABCはその2倍、外角ACBと二等辺三角形で等しいので、1/2倍の関係にあります。よって、外角の定理より角AECは角CAEと等しいと分かり、△CAEも二等辺三角形と分かり、CE=4となります。AEの長さは余弦定理でいけます。cos∠ACEは180°-θの公式より、-cosBと一致するので、これよりAE=2√10となります。右頁、△ACEと△ADCは、円周角の定理で∠ABD=∠ACDより、相似な二等辺三角形です。AE:ACが相似比になるので、面積比はその2乗の比となり、5/2倍となります。また、相似比√10:2を利用すると、ADの長さがACの長さより求められます。最後、△ADCの面積は、そのAD=CDの長さと∠ADCの正弦、この角は∠ACEと等しく、正弦は180°-θの公式よりsinBと等しいので、面積公式より求められます。最後はsinBと等しいと見破れるかが難しいです。でも全体的な問題量は無難で良問でした。

 第4問は絶対値の2次不等式の問題。今度は場合分けで解いていく問題でした。まず2次方程式を解くと-3と1と分かり、|x-1|もちょうど1が境なので、3通りの場合分けで解いていきます。今回は場合分けも丁寧に誘導してくれていますが、これは自分で場合分けできるようでないといけません。x<-3のとき、前半の絶対値の中身は+、後半の絶対値の中身は-なので、それで解くとx<-4となります。右頁、-3以上1以下のとき、両方とも絶対値の中身は-なので、絶対値をはずすとき-1倍して解くと-3/2〜0未満となります。1<xのとき、両方とも絶対値の中身は+なので、そのままはずして解くと2<xとなります。この不等式を満たさない整数xは、今までの答えを踏まえて、数え上げればよいでしょう。満たさない整数xは、x=-4,-3,-2,0,1,2の6つになります。見た目よりは簡単な問題で、場合分けも誘導されているので解法に悩むことはあまりなかったと思われます。昔なら自分で場合分けするレベルが出ましたけど…。

 絶対値の問題は今年は「数学T専用問題」のみに出題されましたが、来年以降数学T・Aに出てもおかしくない問題でした。むしろこっちの方が第1問[1]より良問だと思うのですが…・。そして来年新課程からは数学T・Aは範囲が広くなります。統計が出題に加わり、数学Aは一昔前のように選択問題になると推測されます。おそらく確率・整数・幾何の3つから2つを選ぶことになるでしょうが、整数問題は出題難易度が読めず、幾何も単独で出題されると、気づくか気づかないかの世界になる可能性があり、この辺の対策はやりづらいかもしれません。確率は今まで通りの過去問をやればよいでしょう。ぜひ、模擬試験などを通して来年からの新課程受験生は練習してほしいと思います。
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2013 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

2013/01/23 17:33
 実はいままで風邪で寝込んでいて、昨日は38度の熱が出てしまっていたため、数学を解ける状態ではありませんでした。やっと意識も回復してきたので、遅くなりましたが数学U・Bの方の感想と解法の概略を書いていきたいと思います。実は代ゼミ等はもう解説講義を配信しているので、詳しい解説はそちらをご覧ください。今年もリンクを張っておきます。
・代々木ゼミナール センター試験本試解説講義
http://bb.goo.ne.jp/special/yozemi/center_kaisetsu/
・河合塾 大学入試センター試験 解説速報講義
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/13/lecture.html

数学U・B
 さて、こちらは数学T・Aと違って、センター試験という目で見てみると出題にだいぶ変化がありました。大学受験で数学をセンター試験でしか使わない人にとっては、意表を突かれる出題だったと思われます。というのは、第1問は今までなら三角関数と指数対数関数だったのですが、第1問の[1]に、図形と方程式の出題がありました。他の知識をほぼ使わず、真正面からこれがくるのは初めてです。そして、第3問の数列に数学的帰納法が出題されました。いずれも問題文は長いのですが、数学T・Aと違って丸々0点になることはないので、そこで平均点もある程度は高い予想になっています(とはいっても60点はいかなそうですが)。第4問まで見ていきます。

 第1問[1]は図形と方程式。確かに初めての出題ですが、難しくはありません。完全に点取り問題です。(1)PとQの座標は、内分と外分の公式から求められます。そして(2)、OPの中点を通り垂直な直線(OPの垂直二等分線)は、中点と傾きを求めて、直線の方程式の公式から求めます。PQの垂直二等分線も同様に求められます。円の中心は、弦の垂直二等分線の交点(問題文で丁寧に誘導されています)なので、その交点を連立方程式を解くことによって求められ、円はOを通るので、(0,0)を代入すると半径も求められます。最後(3)、円Cとx軸との交点はy=0を代入して8と求められるので、A(6,0)を踏まえて図を書けば、明らかにOAを4:1に外分と分かります。

 [2]は指数・対数関数。こちらは、誘導がなければ私大の入試にも出そうなそこそこ難しい問題です。ですが、丁寧に誘導されているので、問題文の指示通りやっていけばそれほど頭を使う必要もありません。まずXYZですが、x+y+z=3で、x=logX,y=logY,z=logZ(底の2は省略)なので、x+y+z=logXYZ=3となり、XYZ=8と分かります。これを使うと、XY+YZ+ZXも分かります。問題の3つ目の式を通分すると、XY+YZ+ZX/XYZ=49/16なので、XYZ=8より、XY+YZ+ZX=49/2となります。そして右側。3次方程式の解と係数の関係を知らなくても、右側で丁寧に展開式を作って誘導してくれています。そして、t-1/2で因数分解できるとヒントも書いてくれています。たぶん計算の時間短縮のためでしょう。ならあとは割り算(組立除法でもいいでしょう)で、t^2-17t+16と分かれば因数分解してテトナが1と16とわかります。そうすればlogの定義からヌネが-1、ノが0、ハが4と分かります。これは誘導なく最初の連立方程式から自力で解けるまで復習しておきたい、勉強にもなるいい問題です。

 第2問は微分・積分。近年は微分の出題が非常に増えていますね。いきなり増減表の問題。これは表からすぐわかるでしょう。この極大・極小と原点を通る2次関数を求めるのが少し厄介です。また数T・Aの2次関数同様、2次関数をy=Ax^2+Bxなどとおいて、係数A,Bを求めるのが無難だと思います。今年はこの3点を通る2次関数が好きですね。これが分からないと、この問題はまたほぼ点数が取れないのが怖いところです。原点におけるCの接線は、微分係数が傾きになることを使えば、傾きが-2a^2になるので明らかです。接線に垂直な直線(法線)は、その傾きの逆数の符号違いであることを使えばすぐわかります。

 右側、x軸に関して放物線Cと対称な放物線Dは式が事実上書いてあります。これとℓで囲まれた図形の面積は、交点のx座標が連立方程式を解くと、x=0,4aなので、(β-α)^3/6の公式を使えば、32a^4/3と分かります(x^2の係数倍することを忘れずに)。そして、Cとmの交点は、また連立方程式を解くと4a^4+1/2a^3と分かります。CとDはx軸に関して対称移動しただけなので、グラフの形は上下変わっただけで、どちらも原点Oを通ります。ということは、CとDの面積が同じになるのは、6で割る公式より明らかに交点xの座標が同じ時だといえます。つまり、4a=4a^4+1/2a^3の方程式を簡単にすると、a^4=1/4と分かり、S=8/3となります。今年は久しぶりに6で割る公式がものすごく重要でした。

 第3問数列。(1)、これも近年は漸化式が真正面から出るようになりました。その漸化式を解いていくのは定番です。いわゆる特性方程式(正確には違うらしいが…)α=1/3α+1を解いて、α=3/2が、アイに入る数字です。こうすることで、数列{pn-3/2}が、初項3/2、公比1/3の等比数列になるので、一般項が等比数列の一般項の公式より分かります。そして、Σについては、前半と後半に分けて和を考えればいいです。前半は等比数列の和、後半は3/2をn個加えるだけなので、3n/2で答です。さて、(2)。ひとまずpnはおいといて、次の漸化式を考えます。4項間漸化式とでもいうのでしょうか?でも臆することはありません。a4とa6を漸化式にn=1,n=3を代入して求めます。すると奇数番目、つまりbn=3であると推定できます。これを数学的帰納法(ソA)で証明します。指示通り、Aの式のnに2kと2k-1を代入すると、a(2k+3)とa(2k+2)が作れます。a(2k+3)とは、b(k+2)なので、問題のタチツテがbとcで埋められます。ここに、今求めたc(k+1)を上の式に代入すると、b(k+2)=(c(k)+b(k+1))b(k+1)/b(k)+c(k)となり、帰納法の仮定より、b(k+1)=b(k)だから、約分して消え、b(k+2)=b(k+1)と証明できる流れになります。そして、c(n)が実は、c(n+1)=3+c(n)/3、c(1)=a(2)=3より、(1)のpnと同じと分かります。だからc(n)の一般項も実は出ているという流れです。ストーリーは良くできているなあと思います。そして、この問題は仮に途中が分からなくても最後など部分的に解けたりして、部分点は随所で稼げる問題でした。

 第4問ベクトル。今まで空間ベクトルがずっと出題されてきましたが、7年ぶりに平面ベクトルが出題されました。実際例年より素直な出題で簡単といえるでしょう。(1)まずベクトルDBは、DB=OB-ODで、OB=a+cなので求められます。a・cは5*4*cosθ、AEとDBは垂直で内積がに0なるので、ここまでの式をすべて代入すると、tのある項とない項に分けて整理していくことで、tについて解けます。(2)、0<5(2r+1)<4(r+2)までは読み進められるので、あとはこの連立不等式を解くだけです。ただの1次不等式を2回解くと、rが-1/2から1/2と分かります。cosθがこの値の範囲になるのは60度から120度なので、弧度法に直せば答です。(3)では、cosθが-1/8から始まります。ここで図を書き換えた受験生も多いと思われます。さて、tの値は(1)の式に代入すると、1/2と分かります。さて、ベクトルOFですが、ここは今までのようなあからさまな誘導はないので、どうするか迷うところです。場合によっては後回しにする問題ですが、今tの値を求めることで、Eの位置ベクトルが分かるので、ここから自分もベストな解法かは分かりませんが、結局交点の位置ベクトルということで、s:1-sとt:1-tとおいて解きました。すると、ベクトルOFがわかります。垂直も利用しづらいし、メネラウスの定理の利用もきついと思われます。ここからは楽です。すると、ベクトルOFが2/3ベクトルa+1/3ベクトルOEなので、あきらかに1:2に内分する点と分かり、平行四辺形の面積はacsinθより、15√7/2で、その半分が△ABE、さらに△ABEの2/3が△BEFなので、実は平行四辺形の1/3となります。よって、5√7/2となります。

数学U専用問題
 いわゆる数学Aで、「数学U」の方を選択する受験生は多くはないでしょうが、今年もこちらの問題も見ていきたいと思います。「数学U・B」では上で述べたように、三角関数が消え図形と方程式から始まる出題になりました。その消えた三角関数は、「数学U」の第3問に移行されました。第1問・第2問は「数学U・B」と共通問題です。

 第3問三角関数。三角関数は考え方も計算も面倒なことが多いので、大問1つを占領してもおかしくないでしょう。さて問題ですが、いきなりf(x)=sin(x-2a)+sin(x-a)+…とずいぶん式が長いですね。で、(1)でいきなり加法定理を用いるとと来ました。この狭いスペースに4回も全部加法定理で展開するのか…心が折れます。まあ、ある程度書いているとそれほど大変でもないと分かりますが、消える項を消していくとアイウが求まります。さらにcos2aの所を、2倍角の公式を用いるとと書いてあるので、cos2a=2cos^2a-1の公式を使うとエ〜キも分かります。(2)、問題の表現に戸惑うかもしれませんが、結局aに関する項が常に0になればすべての実数xでf(x)=0となります。気にせず解の公式に入れると、cosaが分かります。そして、f(a/2)=0を使えというので、@に代入すると、ちょうどsin(5/2a)=0となります。この5/2aは0°〜225°の範囲なので、5/2a=π、つまり、a=2/5πとなります。

 さて、(3)がやや難しいです。a=2/5πのとき、cos(a/2)を求めようとあります。つまり、a=72°のとき、cos36°の値を求めようといっています。このとき、Bが成り立つから、cos2aは、2倍角の公式に(2)のcosaの値を代入すれば求まります。またcos2a=2cos^2a-1の公式を使うことでタチツが埋まります。最後が迷うかもしれません。したがって、cos(a/2)=-cos(π-(a/2))を利用すると…と書いてあるのですが、いったい何だろうとなります。話の流れを整理すると、cos(a/2)とはcos36°のことで、π-(a/2)とは144°のとこです。これって、a=72°だからその2倍です。つまり、この場合π-(a/2)=2aとなり、cos144°とはcos2aの値のことです。ここに気づけばあとは簡単。cos(a/2)=-cos2aだから、タチツの符号違いが答えです。数字の計算こそ少ないですが、若干面倒な問題でした。

 第4問は複素数と3次方程式の問題でした。これはある意味毎年恒例。今年の問題は計算量は少なくありませんが、考え方は基礎知識だけで十分です。(1)は3+iをただ代入するだけ。計算ミスだけ気を付けましょう。(2)ではこれが解になるときp,qの値を求めよとありますが、結局実部と虚部の連立方程式を解きます。その連立方程式まで書いてあるので、ただ解くだけ。すると、因数分解するととあります。因数定理を使って因数分解してもいいし、あえて逆に3+iと共役な複素数3-iが解になるのは有名なので、そこから2次方程式を作って割り算してもいいでしょう。そうすると、あきらかに(x+3)で割れることが分かります。解は-3と3-iです。

 さて、(3)。今度は-5が解なので、代入するとq=5p-19になります。すると、x+5で割れるはずなので、qに代入したうえで割り算するとちょうど割り切れ、因数分解できます。虚数解をもつとき、D<0なので、判別式よりpの範囲を求めます。(p-5)^2<24の2次不等式は展開しないで解く方がいいでしょう。5-2√6〜5+2√6とわかります。解と係数の関係よりとあります。いわゆる対称式の公式α^2+β^2=(α+β)^2-2αβを使って、pの2次関数を求め、最後、定義域を踏まえて最大値最小値を求めます。平方完成するとp=5のとき最小値-12で、p=5-2√6と5+2√6両方で最大値となります。この最大値も展開式ではなく平方完成の式に入れれば楽に最大値12と求まります。今年は数学T・Aで判別式や2次方程式の問題もなかったので、ここで懐かしい感覚にさらされる問題でした。

・最後に
 ということで、数学U・Bでは、第1問で三角関数が消えたかと思ったら、第4問で出てきたりと全体バランスもいい問題でした。問題文は長いのですが、ただ読むだけの所も結構多く、実際の計算作業は例年よりも少なめだったかもしれません。近年のセンター試験数学は、誘導文の意味をしっかり理解し、それに乗っかれば怖くないというのを顕著に表しています。一時期誘導が強引だったときもありましたが、今はそういう悪問は減りました。趣旨を理解して(誘導文だけに引きづられず、全体像を把握しながら)解いていければよいと思います。来年以降の受験生がこれをもし見ていたら、そういう読解力も含めて鍛えていってください。
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2013 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

2013/01/21 02:41
 遅くなりましたが、新年あけましておめでとうございます。今年も気ままにブログを書いていこうと思っています、どうぞよろしくお願いします。

 さて、本日2013年度の大学入試センター試験が終了しました。今年は長崎で入試問題を試験時間中に予備校の先生の所に持ち出して失格になった生徒がいたようでしたが、それ以外は大きなトラブルはなかったように思います(ニュースにならなかっただけかもしれませんが)。この日曜日に数学も行われたので、とりあえず数学T・Aの方から感想と、今年も解法の概略を書いていきたいと思います。詳しい解説は予備校等の解説授業をご覧ください。

数学T・A
 数学T・Aは全体構成や配点に大きな変化はありませんでした。とはいえ、明らかに今年の問題は「難化」したようです。例年平均点が70点近い数学T・Aですが、今年は各予備校の分析でも低そうで、平均が60点を切りそうな分析です。第4問の場合の数・確率だけは簡単なのですが、第2問・第3問が例年と違う雰囲気で、受験生も戸惑ったと思われます。とりあえず、第1問から見ていきます。

 第1問[1]は、数と式からの出題。最近はほとんど方程式・不等式絡みの出題でしたが、今年は珍しく分母の有理化問題。ABは掛け算をし、逆数の和を計算してから、通分を利用してA+Bを求めるという問題でした。仮に誘導に乗らなくても解けるただの計算問題です。[2]は命題の問題。命題で図形に関する出題というのは、教科書ではたまに扱うことあっても受験勉強であまりやらない問題かもしれません。(1)は対偶命題を選ぶもの。「pまたはq」の否定は、「pでなく、かつqでない」です。このド・モルガンの法則は受験生必須の知識なので押さえておきましょう。(2)は反例を選ぶという奇抜な出題。反例とは、仮定が成り立つけど結論が成り立たないものなので、この場合は「3つの内角がすべて異なるか、または直角三角形でない」けど、「45°の内角がある」例を選びます。直角二等辺三角形は仮定を満たさないので×。正三角形は45度の内角がないので×。3辺の長さが3,4,5のときは45度の内角はありません。これを知らないと迷うかもしれませんが、あと2つは明らかに反例なので○。@とCが正解です。(3)は、(1)と(2)がヒントになっています。(1)より、対偶で考えると、「内角で等しいものがあり、かつ直角三角形ならば、45°の内角がある」という文章になり、明らかに仮定を満たすのは直角二等辺三角形しかありません。つまり→(十分条件)は正しい。←(必要条件)は、(2)より反例があるので偽。よって、十分条件でAが答えです。いきなり(3)を聞かれたらきついですが、うまく誘導されているいい問題です。しかし、図形命題に慣れていない人にはきつい問題だったかもしれません。

 第2問の2次関数がだいぶ形式が変化しました。2次関数が与えられていない出題ってほぼ初めてではないでしょうか?1次関数上の点の移動から面積の和を表し、それが2次関数になるという問題ですが、この文章から正しく立式できないと完全に0点になる問題です。y=-x上なので、長さが8-2t(符号違い)になるのも気を付けないといけません。正直2乗の係数が7という段階で不安にさせる問題です。(1)は立式して平方完成すれば最小値が求まります。そして、aからa+1における最小・最大を求めさせるのは受験の定番問題です。頂点で最小値を取るためには、定義域の中に頂点が含まれればよいので、8/7がaとa+1の間に入ればよいです。そして、t=aで最大値を取るためには、頂点が定義域の中間より右にあればよいので、その不等式を解くと求まります。ここまでは定番問題ですが、やはりはじめの立式が精神的にも一番つらいです。

 (2)がやや難しいです。3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが、y=2x^2のグラフを平行移動したものになるtの値を答えさせるという問題。3点といっても数字ではないのでどう処理しようか迷います。とりあえず、Oを通るということは2次関数のy切片が0なので、y=2x^2+bxと置けます。そして、P(2t-8,8-2t)とQ(t、10t)をこの式に代入することで、bとtの連立方程式を作ることができます。すると、tの値が求まり、平方完成することでどれだけ平行移動したかも求められます。これは、こう書くと簡単そうに見えますが、たぶん試験会場では文字が多くてどう置こうか迷った人も多かったと思われます。自分なら飛ばして後でやる問題でした。

 第3問が三角比と平面幾何の融合問題。例年通りではあるのですが、今年は全く図が描いてありません。問題文を正確に読んで自分で正しく図を書くことが必要です。実は自分もこの問題の中で6回も図を改めて書いたりしました。そのくらい微妙な問題です。APについては、直径の円周角は90°なので、三平方の定理より√10。さて、ODの長さが早速難しいのですが、OからAPに垂線を下ろした長さの2倍なので、相似から求めることができます。1:3:√10を使って、3/√10と分かれば、その2倍です。これが求まると、余弦定理よりcosAが分かります。すると、ACの長さも三角比の定義より分かり、sinAを使えば(あるいはABの長さを求めれば)、三角形の面積が分かり、S=1/2*r*(a+b+c)の公式より、内接円の半径も求まります。今回はこのr=6/5が鍵を握ります。

 後半、(1)でQRという長さを聞いているのですが、△ABC≡△CEAになることに気づかなければなりません。直角三角形の合同条件(斜辺と他1辺)を使いこなせる人はなかなかいないのではないでしょうか?何となく対称性がありそうだと仮定して進めるのも結果的にはありかもしれません。そして図を改めて左右対称になるよう書き換える必要があります。すると、QR=12/5と分かり、AC=24/5より、この2つの円が外接(A)していることが分かります。ここで改めて図を書き換えました。(2)ですが、AQは、三平方の定理よりわかりますが、この時この三角形が1:3:√10になっているのも伏線です。Pは、一番初めの図より角Aの二等分線上にあるのが分かります。また、Qも△ABCの内心なので、角Aの二等分線上です。つまり、A,P,Qは一直線上なので、PQはAQ-APで√10/5と求まります。最後、√10/5は、6/5よりも、1よりも小さいので、2円の位置関係より、点Pは円Qの内部で、点Qは円Pの内部(A)ということがわかるという問題です。第3問もはじめでつまづくとほぼ0点近くになる可能性があり、いきなり相似を使わないといけない所がつらい出題です。中学数学も特に図形は要求されます。今回みたいに直角三角形の合同条件まで要求されることもあるので要注意です。

 第4問は場合の数・確率。これは第1問から第4問の中でも最も易しく、近年の確率の中でも極めて易しい問題だったと思われます。第2問・第3問がきついからという判断もあったのでしょう。重複順列からはじまり、順列と組合せを答えさせて、(3)では積の法則より、3点になる場合の数を求めます。誘導文がなくても36通りと求められることが必要でしょうが、今回は考え方を書いてくれている超親切設計です。(4)では、期待値を求めるために1つ1つ確率を聞いています。9点は、全部同じ数字の確率。3点は(3)で求めたので、あとは同じ考え方で2点と1点を求めます。数字と場所を考えて確率を求めます。ちなみに、0点の場合の確率は(2)より分かるので、検算に利用しても、このどちらかの確率を求めるのに使うのもありです。そして期待値が意外にきれいな数字になるのも面白いですね。唯一今回の問題の中で解いてすっきりした感じがありました。

 ただ第2問・第3問での動揺の中で、飛ばして第4問やるというのがセオリーでしょうが、その際易しい第4問も難しく見えた可能性があります。第1問、第2問、第3問とも図形を扱う珍しい年となりました。反面、2次方程式や2次不等式が全く出題されないというのも意外です。ちょっと受験生の意表を突く問題でした。

数学T専用問題
 さて、数学@では、「数学T」という科目も出題されています。センター利用私大などではこの科目の受験も認められているため、こちらを選んだ人もいると思います。今年の場合に関して言えば、「数学T」の方が「数学T・A」よりも圧倒的に簡単です。取り組みやすく、いわゆる模擬試験でありがちな問題が多く見受けられました。なので、模試の復習などをしていた人は高得点が狙えました。もちろん受験生の違いから、平均点はそれほど高くはないでしょうが…。なお、第1問[1]と第2問は「数学T・A」と共通問題です。

 第1問[2]は、絶対値の方程式と2次方程式の出題でした。@の方程式は絶対値の方程式なので、公式で解けます。場合分けでももちろん解けます。これと解が一致する2次方程式を作れということですが、(x+8)(x+5)>=0とすればいいので、この式を展開するとシ〜タが埋まります。Aを満たす実数xが存在する条件とは、結局yが0以下になる場所ができればいいので、D<0だとx軸より上側しかないのでだめです。つまり、Dが0以上になればいいのが条件です。これより、aの2次不等式が作れ、解の公式よりaの範囲が-5-√10から-5+√10と分かります。√10は3〜4の間の数と分かれば、-5-√10は-8.□となり、これを満たす最小の整数は-8となります。最後、このとき@・Aをともに満たす範囲ですが、Aがx^2+16x+63<=0より、-9〜-7で、@が-8以下だったことを踏まえれば、-9〜-8が答となります。√の近似値の扱いは今年はここで出てきましたが、近年の頻出事項なので絶対に慣れておきましょう。

 第3問は三角比主体の図形問題。とはいえ、円周角なども出てくるので、数学T・Aの融合問題にもなりえそうな問題でした。(1)、cosBは余弦定理より求められます。同じくcosAも余弦定理より1/2となり、A=60°と分かります。(2)角ECHは、円周角の定理より30°となり、同様に角EBHも円周角の定理より30°となります。これより、HはBCの中点と分かるので、HC=√7となります。そしてCEの長さですが、△CEHは1:2:√3の直角三角形なので、HC:CE=√3:2の関係です。つまり、HCの2/√3倍すればCEの答えになります。(3)、角APBは問題の式に角度を入れると、90°-角ABCとなります。すると、sinP=sin(90°-B)=cosBとなるので、(1)の最初の答がそのままここの答になります。(4)、sinCEPは、外角の定理より角CEP=60°なので、√3/2です。最後CPですが、△CEPで正弦定理を使えばおしまいです。必要な数字はここまでで出てきているので、角Eと角Pで正弦定理を使ってください。あまりにも模試にありそうな問題でした。

 第4問は、また絶対値の方程式と2次方程式の出題でした。@を平方完成のような式変形をしろというので、いわれるがまま書き直します。bは0以下なので、右辺は正となり、t+2aは±√右辺となります。よって、t=-a±√右辺となります。次に(1)、b=0のとき、@の解はt+2a=±2aとなるので、t=0と-4aになります。このとき、Aの実数解の個数ですが、Aとは@のtに|x-2|を代入した方程式です。つまり、|x-2|=0と-4aになるわけですが、-4aになることはありません(aは正なので)。0になるのがx=2のときだけなので、解は1個だけです。(2)、b<0のとき、@の0以上の解はt=-2a+√右辺となります。このとき、Aの実数解の個数は、x-2=±(-2a+√右辺)となるので、明らかに答えは2個になります。式が第1問に比べると若干複雑で、±をうまく扱えるかがカギとなる問題でした。
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2012 センター試験 数学U・B 感想と解法速報

2012/01/16 04:01
 先程の日記での数学T・Aに引き続き、今年のセンター試験の数学U・Bの方の感想と解法を書いていきたいと思います。

数学U・B
 数学U・Bの全体的感想は、昨年の問題よりは若干難しくなったかなという感想です。取り組みずらいという感じでしょうか?ただし、これは第1問の[2]の三角関数と、微分積分。対数関数やベクトルはやりやすい問題だったので、平均点が極端に下がることはないのでしょうけれども、各予備校の分析でもやや難しくなったという評価のようなので、平均点は50点前後でしょう。

 第1問[1]は対数関数。この問題は非常に簡単でした。底が1より小さいか大きいかで場合分けをしますが、それを除けば教科書の例題レベルです。真数条件をまず確かめて、a<1のときは不等号の向きを逆転させて2次不等式を作ります。真数条件を踏まえて6<x<8と答えます。まあ、11だとマークにも合わないので不注意ということもないでしょう。同様にa>1もやれば、2<x<6と出ます。

 第1問[2]は三角関数。こちらが今回の山場の問題かもしれません。まず、αがπ/6の場合は具体的にcos2βが1/2になる角度を答えればよいのですが、その先が自分もここで解説しづらい問題にぶち当たります。(90°-α)の公式、(270°+α)の公式、(α-90°)の公式、(α-450°)の公式と言ってしまえばそれまでなのですが、そこにどうやって気づくのかといわれると言葉に詰まります。他所の解説を聞いていただけると光栄です。この山場を越えればあとは計算だけです。3/8π〜11/8πの中でsinの値が最大になるのは90°のときの1です。これは方程式を解くとαが3/22πと出ます。これは歴代の三角関数の中でも難問、そして説明しずらい問題でした。

 第2問は微分法・積分法。昨年よりは良問になったと思います。(1)で恒例の接線の問題から始まり、いわゆる同じ点における共通接線の問題になります。f(a)=g(a)とf'(a)=g'(a)の方程式を解くと、pとqが求まります。(2)では、(0,b)を通る条件から作った3次関数の増減表を作る問題。そこから3次方程式の解の個数を3個と求めます。問題は(3)です。頂点がx軸上にあるということから、平方完成か判別式を利用して、4次方程式を解き、a=0,4/9と求めます。その2つの場合の絵をかいて考えます。D2の式はまじめに求める必要がありません。この2つは2次関数をただ平行移動しただけの関係で、なおかつ両方ともx軸に接します。すると、対称性からD1を0〜2/27まで積分した面積の2倍で計算できると分かります。ここに気づけばあとは計算。とはいっても、答も指数しか聞いていないので、積分はそれほど大変ではありません。ただ、対称性に試験本番の空気の中で気づけるかがなかなか難しいところだったと思われます。

 第3問は数列。初めは等差数列の一般項と和の問題。等差数列の連立方程式を使ってdとaを求め、和の公式かΣ計算で和を求めます。しかし問題の右側がなかなか見た目から嫌気がさします。ただし、今年の数学Bの問題は例年以上に丁寧に誘導してくれています。Σb1=b1という関係を使ってb1を求めます。そのあと、nをn+1に変えて指示通りの式に代入します。すると、bnに関する漸化式を作ることができます。これは通常階差数列などを利用して置き換えて解くタイプのやや難しい漸化式ですが、センター試験のマークの特徴をフルに利用しましょう。チをα、ツをβとでも置けば、係数比較より求めることができます。すると、Cnが初項・公比4の等比数列と分かり、bnを求めることができます。このPn+1=αPn+f(n)型の漸化式がセンター試験で真正面から出たのは初めてかもしれません。

 第4問はベクトル。もう6年連続空間ベクトルが出題されています。ただ見た目よりは簡単な問題でした。実はただの直方体の問題。ベクトルOMやONは、空間ベクトルの足し算で行けます。(2)は内分公式(直線のベクトル方程式)。s:1-sとおく交点の位置ベクトルの問題です。誘導通り、MP=kMNを使うためにMPとMNをまずは求め、ベクトルa,b,cの係数比較をしたり、平行条件から比が等しいとやっていけばsやkを求めることができます。(3)がやや面倒で、計算量が非常に多くなります。ベクトルOGやGFを整理した後、GFの大きさを聞いています。これは3文字の2乗を計算する必要がありますが、ab=bc=ca=0になることを利用すると、各ベクトルの2乗のところだけ計算していけば求められます。そして、親切なことにGM=2と求めてくれています。GFとGHの内積もやや面倒ですが、また2乗のところだけ頑張って計算してください。またGMとGHの内積は求めてくれているのでほっときます。角度が等しいことより、内積を図形的にcosθ=のような式を作れば、結果的に問題で聞いてくれている式を出すことができ、方程式を解くとtの値が出ます。設計的には親切にしてくれている問題でした。それでも計算量は多かったですが。

数学U専用問題
 数学Aでは、他に「数学U」だけの問題があります(他にも工業数理などありますが…)。第1問・第2問は数学U・Bと共通問題です。さて、今年の「数学U」の問題はというと、なんか面白みに欠けるという印象ですかね?受験生にとっては軌跡・領域が出ないのはうれしいのかもしれませんが。とりあえず見ていきます。

 第3問は直線の方程式と相加・相乗平均にまつわる問題。確かにこの2つを融合させたという意味では斬新です。ただ、20点の配点の割には計算量が多くてつらかったと思います。重心を公式から求め、直線の式を作るとy切片を求めることができます。これがLです。PGの直線は、2点(0,t)と(1/3,a+2/3)を通る直線なので、そこからカキクを求められます。同様にABの直線は(1,a)(0,2)を通る直線ということから求められます。その2つから交点のQのx座標は連立方程式を解くことで求められます。

 △BPQの面積は底辺BP=2-t、高さはQのx座標から求められ、その式の4-3t=uと置けというので指示に従います。すると、t=4-u/3なので、それを代入するとチ〜トが埋められ、この逆数の形ができると相加相乗平均です。今回は問題にそれを使えと言っているので指示通り使うと、u+4/uは4以上となり、u=4/uより、u=2のとき等号成立になります。すると面積の最小値が4/9と分かり、u=2より、t=2/3、あとはPQの直線の式の所の傾きより、傾きがaと分かります。本来、逆数の形が出てきたら相加相乗平均を使うというのには誘導されなくても気づかないといけません。そういう問題が出た年もかつてありました。

 第4問は高次方程式・因数定理の問題。数U専用問題ではよく高次方程式が出題されます。さて、P(1)=0より、P(x)はx-1で割り切れます。よって、P(x)=(x-1)Q(x)と表せ、Q(x)=r(x-2)(x-3)+s(x-2)+tと置けと言われます。P(2)=aより、x=2を代入しt=aを得ます。今度はx=3を代入し、P(3)=2Q(3)=2s+2t=2となり、先のt=aも代入すると、s=-a+1を得ます。確かセンターのマーク欄はtは埋められなかったはずなのでaを埋めます。さらに、x=4を代入し、今まで求めたs,tを代入すると、r=a/2となります。Q(x)を今まで求めたものを代入して整理すると、Q(x)が出ますが計算ミスしやすいので気を付けてください。そして、3次方程式P(x)=0が虚数解をもつ条件ですが、少なくとも1という解をもつ以上、Q(x)の方で虚数解が出なければなりません。よって、Q(x)=0で判別式D<0を解くと、解の公式より6-4√2を埋めればよいことが分かります。その不等式を満たす最小の整数は1(√2≒1.4から判断すると早いでしょう)なので、Q(x)のa=1を代入して虚数解をまた解の公式から求めてください。この問題はそれほど難しくはなかったでしょう。

・総括
 とにかくどちらを選んだにしても、今回考え方が難しかったのが第1問[2]の三角関数でした。ただ、思い切って捨てて、数学U・数学Bどちらにしても第3問・第4問は例年よりは簡単だったので、他の問題を確実にやっていけば80点以上の高得点も狙えるテストではありました。これを試験会場の緊張の中でやれるかは難しいところですね。来年の受験生はぜひ高得点が取れるよう、問題形式に慣れて本番に臨んでほしいと思います。今年、どちらにも数Uの軌跡や領域の問題が出題されていませんが、2年連続出題されていないことを考えると、来年あたり怪しい気がします。特に第1・2問にこの辺や円の方程式が絡んでくると平均点は極めて下がるはずですが、模試などを利用して警戒して勉強した方がいいかもしれません。もう高2の人もこれであと1年を切ったわけですから、これからの健闘を祈念いたします。

P.S 自分も頑張ってこの記事を作成したつもりでしたが、自分よりも早くセンター試験の解説を載せている方がいらっしゃいました。数式もこことはちがって見やすいのでお勧めです。
・「イズミの数学」様
http://izu-mix.com/math/index.html

 また、代ゼミ↓では解説講義(英・数・国)の配信が始まったようです。2月29日までの限定無料配信なので、解説授業をぜひ見て勉強してみてください。
http://bb.goo.ne.jp/special/yozemi/special/center_kaisetsu/index.html

 河合塾でも解説講義を配信しています。
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2012 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

2012/01/15 20:42
 今日2012年度の大学入試センター試験が終了しました。今年は理科・社会が種類別の時間割ではなくいっぺんに行う方式になったため(そのためトラブルもあったようですが)、例年より数学の時間が早くなり、数学の問題もネット上に本日夕方6時前には公開されていました。そこで今年も、数学T・A(と数学T専用問題)の感想と、自分なりの解法の道筋も書いてみたいと思います。もっといい解法があるかもしれませんが、そこは信頼できる予備校等の解説授業をご覧ください。

数学T・A
 まず全体構成は昨年とほぼと同様で、配点も同じでした。難易度は各予備校の分析では、例年とほぼ同様となっています。第3問が昨年よりはやや難化という分析ですが、他の問題が楽なものが多かったので平均点は例年並みでしょう。2円の位置関係が初めて問われましたが、傾向に惑わされず普通に教科書をまんべんなく勉強した人にとっては極端に難しいわけでもないと思います。

 第1問[1]は方程式と不等式でした。絶対値の不等式を解けるかが問われています。場合分けするのではなく、公式的に|x|<aは-a<x<aというのを駆使して解けばよいでしょう。不等式を満たす整数xの個数というのもセンター試験お得意の問題ですね。その個数が増加するのは、下手に理屈で考えるよりa=4,5…と考えればよいでしょう。a=3のときはxは-2,-1,0,1の4個で、a=4のときも同じ4個。a=5のときxは-3,-2,-1,0,1,2の6個になるので、個数が大きくなるのはa=5のときです。今年の問題は数直線を書かなくても解けます。

 第1問[2]は集合と論理でした。数年前にも見たような条件式の問題です。2008年〜2010年の命題の問題ともかなり似ていますが、また不等式と自然数の問題でした。(1)は命題の否定問題。m>k(kより大きい)の否定はm<=k(k以下)になるということと、「または」の否定は「かつ」になるという有名なものです。(2)はいずれも数を代入して反例がありそうか考えるに尽きます。その際、問題の条件より自然数で考えることだけ注意しましょう。この問題は自分もほんとに必要条件なのか、正解かどうかが不安になる問題ではありました。

 第2問は2次関数でした。まずは平方完成し頂点を求め、頂点が直線上にあるというのだから、y=-4x-1に頂点を代入すればよいです。(1)はまず判別式D>0を利用し、x軸と正の部分と負の部分で交わる解の配置問題は、y切片が正(上に凸だから)というのを利用する問題でした。(2)は、最小値の場合分け問題。昨年予想した通り場合分けの問題が出ましたね。これは、定義域の中間のx座標2が、頂点より右にあるか左にあるかで分けるパターンです。aが0以下のときはx=4で最小値-22を取るはずで、これを方程式として解くとa=-3がでてきて、aが0以上のときはx=0で最小値-22を取るはずです。これを解くとa=1が出てきます。最大値はただ平方完成するだけ。最後の平行移動もa=-3,1のときの頂点の位置を比較すればよいでしょう。a=-3,1を求めるあたりが山場でした。

 第3問は図形と計量・平面図形でした。やっぱり今年も例年通り、数学Tと数学Aの融合問題です。二等辺三角形ですが、普通に数Tの余弦定理、相互関係、面積公式と内接円の半径公式、そして三平方の定理をやっていけば前半は解けます。この15点分は落とせないでしょう。やっぱり難易度が高い問題は右側です。(1)に入っても数Tの正弦定理(ただし直径に注意!)。そしてこの後が今年初めて出てきた数Aの2円の位置関係に関する問題。いわゆる5通りに分けられるものですが、d(2円の中心間の距離)と、R+rとR-rの大小関係を考えます。ただ、内接円の半径にしろBP=BQという条件にせよ、ABとBCからの距離が等しいということでBから同一直線上に中心があることが分かります。まじめには不等式で判断するんでしょうが、√2や√6の近似値が分かっていれば小数で処理すれば確実に2点で交わりそうだと判断できると思います。(2)は方べきの定理で2問解けます。最後ですが、いわゆる2つの中線なので重心という判断もできるでしょうし、あるいはチェバ・メネラウスの定理で処理することもできます。自分は後者が先に思いつきました。まあ各自の好き好きで。おそらく一番迷うのは(1)だったと思います。

 第4問は場合の数・確率でした。今年の確率は、例年以上にシンプルでした。樹形図も珍しく必要ありませんでした。9枚のカードから5枚の取り出し方、そして、(1)ある特定のカードが入る場合(8C4)と入らない場合(8C5)を求めさせるのは有名問題ですね。(2)で一瞬ためらうと思いますが、得点が0点の場合は問題に書いてある通り、5のカードが入らない場合だから、(1)より56/126で4/9。1点の場合は、5が小さい方から1番目だから、5枚のカードが(5,6,7,8,9)の場合の1通りだけで1/126。2点の場合は、5が小さい方から2番目だから、あと1〜4の中から1枚、6〜9の中から3枚取り出せばよいので、4C1×4C3/126となります。あとは同様に考えていけば、確率・期待値ともに計算できると思います。この考え方さえできれば満点は可能な問題でした。


数学T専用問題
 今年も、数学@では、「数学T」だけの出題もありました。基本的にはセンター利用私大や文系の一部の人が選択することが可能な科目ですが、数学Tだけの知識だけでできるとはいえ、やはり数学をいろいろやってきた人の方が有利であることは確かです。今年もそんな出題でしたし、昨年ほどではないとはいえやはり今年も簡単ではありませんでした。正直自分が慣れていないせいなのか分かりませんが、数学T・Aの方が簡単に見えてしまいます。

 第1問[1]は数学T・Aと同じ問題ですが、[2]は「数学T」だけの出題で、2次方程式に関する問題でした。はじめは判別式D>0で解けばいいとして、解の方からbに関する条件を作るという問題です。これが案外難しかったです。自分は結果的には解の公式を使って二つの解s,tを文字で表し、それを引き算することでこのマーク欄に合う式を作りました。しかしどうやろうか本気で悩みましたし、あまりメジャーな式変形ではありません。たぶんつまずいた人が多いと思います。そして最後は2解とも正になる条件を求めるのですが、ただの解の配置問題とはいえ、aとbの2つの条件が出てくるので厄介です。a^2-4a+b>0をどうするかが難しいのですが、自分は平方完成して、2次不等式にして考えました。(a-2)^2>4-bにすると、マーク欄に合う答えが出てきます。別解があるかもしれませんが、どの道これはかなり難しかったと思われます。第2問は2次関数共通問題でした。

 第3問の図形(三角比)の問題は、例年だと数学T・Aと同じ図であったり似た出題だったりするのですが、今年はまるっきり別問題でした。直角三角形と角の3等分線に関する問題でした。はじめは三平方の定理より直角三角形と気づき、その三角比を答える問題でした。(1)マーク欄が焦るのですが、AMとBMの関係を聞いているので、正弦定理を使いケコを求めます。次にABの長さを表します。MからABに垂線MHを下ろしたとすると、AB=AH+BHなので、それを三角比を利用してサシを求めます。AB=2より、先ほどのケコとサシを利用してAMとBMが出ます。(2)は三角形の面積公式で△AMNと△ANCをANを使って表します。その2つを足した面積は、△ABC-△AMBと等しいので、3√3/5と出ます。ここから方程式を解くと、AN=4/3と出ます。基本的にはそれほど難しくはないのですが、気が付かなかったりすると意外なところでつまづくこともあるかもしれません。(1)のマーク欄に焦らないことが肝要です。

 第4問は数と式の出題でした。毎年独特な問題を見せる第4問ですが、今年は結果的には√17の近似値を求めるという問題でした(正直よくこんな問題思いついたなあと感心してしまいます)。まず(1)は因数分解して、両辺正だから、ルートを取った式でも大小関係が同じと導きます(これって数Uの不等式の証明をやった人の方が感覚があると思います)。(2)の2次不等式でもまた展開して因数分解します。ですが、この25/144は後々も全く使いません。できない人も(3)に挑戦すべきでした。(3)で√17/4をまず√(17/16)にして、キクを埋めます。すると、あとは指示通りa=1/16を@とAに代入していくと、ケ〜ツの値を機械的に求められます。それを4倍して200に通分すると、これも機械的にm=824とでます。すると、√17が4.12〜4.125の間の数と分かり、小数第3位を四捨五入すると4.12になることが断定できます。この問題は確かに知識は数と式だけでいけますが、いろんな問題を解いて数学的センスがないと完答は難しかったかもしれません。そういった意味でも、文系の人が多いであろう数学T専用問題としてはきつすぎたと思われます。平均点は例年よりも低い40点程度と予想されています。
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タイトル 日 時
2011 センター試験 数学U・B 感想と解法速報
 前回の日記での数学T・Aに引き続き、今年のセンター試験の数学U・Bの方の感想と解法を書いていきたいと思います(あまり詳しくはないので、「解説」とは言わないでおきます)。 ...続きを見る

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2011/01/17 15:28
2011 センター試験 数学T・A 感想と解法速報
 本日2011年度の大学入試センター試験が終了しました。2日目の数学の問題もネット上に本日夜8時前に公開されました。そこで、数学T・A(と数学T専用問題)の感想と、今年は自分なりの解法の道筋も書いてみたいと思います。もっといい解法があるかもしれませんが、そこは信頼できる予備校等の解説授業をご覧ください。 ...続きを見る

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2011/01/16 22:55
2010センター試験 数学について
 あけましておめでとうございます。さて先日、今年も無事にセンター試験が行われました。リスニングテストが始まった2006年度からの現過程において5年目のテストでした。今年度からは「過去問の再利用」も認められるようになったテストでしたが、今年の実際の問題では他教科でもあまりそのような話は聞いていません。 ...続きを見る

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2010/01/20 05:38
2009センター試験 数学について
 先頃、1月17日(土)と18日(日)に今年も大学入試センター試験が行われました。今年は全体的にはそれほど混乱もなく、そして画期的な変化もない年だったような気がします。しかし、数学は…あまりいい問題ばかりではなかった(正直悪問が見られる)というのが感想です。 ...続きを見る

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2009/01/26 12:58
センター試験数学2008 問題について
 最近たてこんでいて、ずいぶんブログの更新が遅くなりました。いずれにしても、今は私立大学の一般入試がピークを迎えています。それはさておき、前回のブログの続きとして、今年の数学のセンター試験の問題についてまとめてみたいと思います。 ...続きを見る

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2008/02/11 17:01
ガチンコセンター試験08
 先週2008年度のセンター試験が行われました。今年もトラブルだらけだったようですね。それはさておき、自分が受験した大学入試から10年以上経とうとしていますが、そんな自分が仮に大学受験したとしたら…。ということで今年もセンター試験の問題にガチで挑戦してみました。正直この成績は公表しないほうがいいのか迷った挙句、とりあえず発表してみることにしました。 ...続きを見る

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2008/01/27 20:35
今年のセンター試験数学について
 今年も1月に『平成19年度大学入試センター試験』が行われました。今年実は数学に限らず全教科自分で解いてみてみました。点数についてはここでは公開しませんが、専門の数学以外は大学受験には厳しい点数でした。さてセンター試験について昨年も感想・講評をしたので今年も載せておきます。  今年は新課程2年目、一番安定期だと思われていた時、英語では大の裏切りがありました。形式がかなり変わっていて、とにかく長文が多く、傾向だけを追っていた生徒は時間配分も含めハズした人もいるようです。自分が担当した生徒にもいた... ...続きを見る

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2007/02/02 05:32
勝手に 今年のセンター試験数学の予想
 今年も、勝手に大学入試センター試験数学の出題予想をしてみたいと思います。なお、このブログで予想を外したとしても私は一切の責任を持たないので、その点はあしからず。ただ、もう出題者も製作・相談済だろうから、ここで自分が何を言おうと出題が変わるとは思えないので、その点は時期的にもいいのかなと。 ...続きを見る

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2006/12/06 02:58
2006年度 センター試験数学について
 1月22日(日)に数学の大学入試センター試験が行われました。それについて、改めて対策含めて書いておこうと思います。来年2007年度(平成19年度)受験する人がもし見てたら、参考にしてがんばってください。まだ様子見が続くと思われますが、でもきっとしばらくこの形が続くと思います。 ...続きを見る

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2006/02/03 02:21

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