かねごんの放浪記

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zoom RSS 2017 センター試験 数学T・A 感想と解法速報

<<   作成日時 : 2017/01/15 23:27   >>

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 明けましておめでとうございます。さて、昨日・今日とセンター試験が行われました。極寒の中、受験生の皆さんお疲れ様でした。自分が教師に復帰できるか分かりませんが、2年前までこう感想を書いてきたので、半分趣味としてまた書いてみたいと思いブログにしました。まだ解き終わってないのですが、追々更新していきます。ぱっと見の感想は、数Tは割と簡単。他は見た目から難しいといった感想です。何せ鉛筆が持てないので、PC上で解いているので更新が遅れると思いますが、よろしくお願いします。

数学T・A

 第1問[1]は数と式。いわゆる対称式の計算問題です。2乗・3乗の対称式の公式で解けます。4乗はご自由にということでしょうが、2乗の式を2乗した対称式を使えばいいはずです。単純に2乗しないように。[2]は命題。見た目簡単そうですが、中には熟考を要するものも。qはpであるための、といったらqならばpが成り立つか考えます。x^2=1だからといって、x=1とは決めつけられません。逆が成り立つので、必要条件。2つめはあきらかに無関係。3つめは、pまたはqでないというのは、つまりx=-1でないということです。そうすれば無関係。4つめは、3つ目をしっかり考えておくとド・モルガンより、x=-1なので、十分条件と分かります。後半は真偽。Aはx=1なので、x>0で真。Bはx=+-1なので、x>0とは言えない偽。Cはド・モルガンより、pならばqとなるので、前半の1つ目の逆で真となります。

 [3]は2次関数。昨年はこういうのがなかったので、久しぶりの正統派出題です。ちょっと平方完成がめんどいです。正確にやると頂点の座標が分かります。その頂点のx座標の最小値は平方完成してください。分数でなおめんどいです。頂点のy座標は4次関数ですが、誘導されています。おきかえて解くのですが、平方完成が因数分解形で、t>0だから答えは16です。平方完成というより、t>0の方が重要な問題でした。各10点です。2次関数の配点が以前からずいぶん減りましたね。

 第2問は2問構成で、[1]が三角比、[2]がデータの分析で、15点ずつです。この配点は新課程以降変化なしです。[1]は、三角比で内容は簡単です。(1)まずは余弦定理でACを求めます。若干計算が重たいです。次に正弦定理で外接円の半径Rを求めます。3問目、sinAを求めるとありますが、Rが求まっているので、正弦定理をまた使えばよいです。余弦定理で相互関係とやったら大変です。(2)、△ABDの面積が与えられていて、sinAが求まっているので面積の公式より、AB・ADが分かり、それよりADが求まります。ADだけなら、面積比を使うこともできるでしょう。

 [2]はデータの分析。もう3年目になりますが一貫して、計算でなく考えて分析させたいという意図が伝わってきます。(1)散布図を読み取る問題。特に難しくないので、1つ1つ選択肢と照らし合わせてください。146が正解です。(2)は今年ももう1つの1次関数が出てきて、XがDの1.8倍から計算されます。昨年の過去問をやった人は対策出来ていたかもしれません。分散は偏差の2乗の平均なので、1.8の2乗=3.24倍です。共分散は、分散と違って2つの偏差の積なので、片方だけ1.8倍されます。相関係数は、共分散が1.8倍ですが、標準偏差も1.8倍なので、変わりません、1倍です。(3)はヒストグラムと箱ひげ図の問題。一瞬これまでのを使うのかとひやひやしましたが、無関係。X+Yの最小値が108ということより、1回目がAとaの図と分かります。もうヒストグラムは使いません。何のためだったのでしょう?最後、箱ひげ図より四分位範囲を求めると、箱の長さが14と15ぐらいなので、1回目の方が小さい。中央値は1回目の方が大きいので、@が正解。X+Yの最大値、最小値はともに1回目の方が大きいです。(2)が、計算の経験で知っているか否かで分かれる問題でした。全体的にはページ多い分面倒なだけで、簡単な問題でした。

 以下、数学Aからの出題でいずれも20点になります。3題のうち2題を選択すればよいことになります。

 第3問は確率でした。扱う題材は当たり2本、はずれ2本のくじというシンプルなもので、これだけ難しくさせられるのは天晴です。(1)AB少なくとも一方が当たりは、2人ともはずれの余事象だから、1-1/6=5/6です。(2)3人で2本の当たりを引く事象を、排反な3つの和事象で答えさせるもの。これはまだ簡単で、誰か1人がはずれるわけだから、135の和事象とわかります。その確率は3つとも1/6だから、3倍して1/2。(3)E1が起こったときEがおこる条件付き確率は、意味を考えるまでもなく公式だけです。(4)これが1番難しい。BCの少なくとも一方が当たる事象を3つの排反な事象の和事象で選べという。結論:Aがはずれれば、絶対にどちらかが当たるわけでまずそれを選び、あと(Aがあたっても)Bだけはずれの場合とCだけはずれの場合を足せば条件満たせます。これは難問ですが、排反事象と言っているのでBがはずれとCがはずれは選べなさそうです。消去法でもいいし、自分は8通りの表で解きました。くじはもとに戻さない場合でも当たる確率は変わらないと知っていれば、E2,E3の確率はすべてE1と同じで5/6です。(5)条件付き確率も、分子がEで、分母がすべて5/6なので、全部同じと分かります。

 第4問は整数。本質的理解を問う良問で、最後の問題以外は割と平易です。数Aの中では途中点も一番とりやすいでしょう。(1)3桁の整数37aが4で割り切れるのは、下2桁が4の倍数になればよいので、72、76です。(2)4桁の整数7b5cが4でも9でも割り切れるのは、まず4の倍数がc=2,c=6の場合で、c=2のときb=4、c=6のときb=0,9なので3組です。このうち最小なのは7056、最大なのは7956です。7b5c=(6*n)^2となる場合は、要は36n^2なので、上の3組。その中で実際に36で割ると平方数になるのは、7056=36*196です。実際に割るのが一番早いでしょう。(3)1188の正の約数の個数は、因数分解して指数+1の積です。3*4*2=24個です。そのうち2の倍数は、2の因数のとり方が2^1、2^2の2通りになるので2*4*2=16個です。4の倍数は、2の因数のとり方が2^2だけになるので1*4*2=8個です。これは教科書に良く出てくる公式ですが、その意味を理解している必要がありました。そして最後が難問。1188の正の約数の積を2進法で表すなんてほとんど誰も考えたことなかったでしょうが、2進法に直すとき、よく割り算のひっ算の逆みたいなことやりますよね。つまり、2で何回割れるかと聞いているのです。そうすると、2の倍数が16個、4の倍数が8個と求まっているので、16+8=24個となります。これはかなり名作良問でしょう。

 第5問は平面図形。今年は自分で図を描く必要がありますが、気付けばそんなに難しくありませんし、何もひねりのない問題です。(1)、図を描くと円と三角形の問題と分かります。BC・CEはこの形ときたら方べきの定理です。CD・CAと等しいので、28です。BC=8より、CE=7/2です。次は、延長線を書くとメネラウスの定理と分かります。BE:EC=9:7なので、これより、BF:AF=12:7です。ABの長さの比が5に相当し、実際の長さが3だから、3*7/5=21/5となります。(2)ほとんど数Tの問題です。Bの角度を聞いているので、余弦定理より、B=60°です。内接円の半径rは、三角形の面積を数Tの公式で求め、S=1/2r(a+b+c)で求めればよいでしょう。最後、BIの長さはやや難しいですが、よく考えれば内心は角の二等分線上にあるはずなので、60°の半分30°。BCと内接円の接点をHとすると、△BIHは1:2:√3の直角三角形です。r=IHなので、BIはその2倍になります。気付けば簡単でした。

 今年は確率が難しく、整数と図形が最後の問題以外割と簡単な年でした。図形は人によりますが、やはり整数問題を勉強しておけば学習量に比例しやすいので無難だと思います。

数学T専用問題

 こちらの問題は、数学T・Aの第1・2問と一部共通していて、さらに発展させています。でも、数学Aがないことを考えると、だいぶ時間的にも楽でしょう。もちろん、平均点は受験層の違いで低いですけど…。上に書いてない部分について書いていきます。

 第1問[1]は数学T・A第1問[1]とほぼ同じ対称式の問題です。2ページ目が追加されています。2ページ目も同様に対称式の公式を使ってください。問題の最後は、これが負のときxを求める問題ですが、これは2次方程式の解の公式を使ってください。√が絡む2次方程式は解の公式を使うしかないでしょう。x>0なので、正の方の平方根が正解でした。第1問[2]は命題で、数学T・A第1問[2]と配点も内容も全く同じなので省略します。

 第2問は2次関数で、新作として[1]が追加されていて、[2]は最後の問題だけが追加されています。[1]はf(x)が2乗引く2乗の形で表されています。つまり、この問題は2次関数と見せかけた因数分解の問題です。いわゆる(a+b)(a-b)の公式で計算すると空欄が埋まります。これが原点を通る時を聞いているので、x=0のとき0になればいいので、aの方程式をたすき掛けの因数分解などで解いてください。[1]はほぼ2次関数の知識は使いませんでした。[2]は数学T・Aの第1問[3]と途中まで同じです。平方完成し、その頂点の最小値を求めます。その際、平方完成というか因数分解してると思うので、ヌネが埋まるはずです。最後、頂点のy座標が10000以下になる場合を聞いています。(3t+4)を2乗して10000以下なので、-100≦3t+4≦100です。でもt>0なので、3t+4≦100だけ考えればいいです。t≦32なので、a^2≦32.です。このaの2次不等式を解いてください。4√2となります。本年2次不等式の出題はここだけでした。

 第3問は三角比で、数学T・A第2問[1]と前半は同じです。(1)(2)については上を参考にしてください。追加された(3)ですが、数学T専用問題なのに、数学Aや数学Uをやっている人は有利な出題でした。CからABに垂線CEを下ろす問題で、そのCEの長さを聞いています。1:2:√3の直角三角形なので、CEはBCの√3/2倍です。cos∠ACEは今求めたCEをACの長さ√6で割ってください。さて、次にcos∠ACBを聞いています。3辺が出ているので余弦定理を使って下さい。しかしこの有理化計算が実に重たいです。苦労すると何とかcos∠ACEと同じ値が出てきます。さてこの値ですが、数学Uをやったことある人なら見覚えあるでしょう。sin75°つまりcos15°の値です。すぐ∠ACE=15°と分かります。もちろん知らなくてもできますが、その場合は図で解いてください。EとBが同じ位置なわけないので、ACに対して逆側と分かり、同じ角度ということで、ACが角Cの二等分線だと分かり、角Cの半分15°と分かります。最後、tan15°の値ですが、これも数U知っている人なら加法定理で出した方が早いでしょう。自分は数Aの角の二等分線の性質を使いました。AB:AE=2:√3を使ってAEの長さを出し、tan15°=AE/CEで出しました。数Tの知識だけなら、1+tan^2C=1/cos^2Cの公式を使うんでしょうか?いずれにしても第3問は内容はそれほど難しくはないのですがホントにこの計算やるの?と思う有理化計算が多すぎて、数学T受験者にはきつかったと思われます。

 第4問はデータの分析で、数学T・A第2問[2]と(1)〜(3)まで同じです。(4)が追加されています。その(4)ですが、追加する必要あったのか?と言いたくなる問題です。XとX'が出てきます。ハンディか何か分かりませんが、中と低にいくらか加点する箱ひげ図の問題です。結果的にはこれも(3)までは使う必要ありません。加点すれば箱ひげ図もその分平行移動するだけです。0は、中央値が中の方が低いので×。@は確かにX'は中央値が66以上70未満なので〇。Aは四分位範囲は平行移動しただけなので等しい○。Bは第1四分位数は中と低がほぼ同じに見えるので×。C第3四分位数は中が一番低いので×で、@とAが正解です。Bが微妙な選択肢だったことを除けばこれで5点は美味しいかなという問題ですが、これはほんとに図を読み取るだけの問題でした。

 数学T専用問題の平均点がかなり低いようです。第3問のせいかもしれませんが、これはそれだけ数学Tで受験できる大学が減った社会的影響の方が強いでしょう。いずれにしても、数学T受験生は、かつての数学Tがとても生きると思います。2次関数・三角比の出題が大半だった2010年頃の過去問をしっかりやって、データの分析もしっかり対策を練ってください。

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